Mostre que as retas tangentes a uma elipse nos pontos extremos de um diâmetro são paralelas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada a elipse de equação
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
as retas tangentes a ela nos extremos de qualquer diâmetro são paralelas.
Conteúdo: geometria analítica de cônicas, em particular tangente à elipse.

Passo 2

Usamos a parametrização usual da elipse, de modo que um ponto genérico na elipse seja
P(\theta) = \bigl(a\cos\theta,\;b\sin\theta\bigr).
O ponto diametralmente oposto é
Q(\theta) = \bigl(-a\cos\theta,\;-b\sin\theta\bigr).

Passo 3

A equação da reta tangente à elipse em um ponto \bigl(x_0,y_0\bigr) satisfaz
\frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} = 1.
Aplicando em P(\theta), isto é, x_0 = a\cos\theta e y_0 = b\sin\theta, obtemos
\frac{a\cos\theta}{a^2}\,x \;+\;\frac{b\sin\theta}{b^2}\,y \;=\;1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\cos\theta}{a}\,x \;+\;\frac{\sin\theta}{b}\,y = 1.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao ponto Q(\theta), onde \bigl(x_0,y_0\bigr)=(-a\cos\theta,\,-b\sin\theta). A reta tangente em Q é
\frac{-a\cos\theta}{a^2}\,x + \frac{-b\sin\theta}{b^2}\,y = 1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{\cos\theta}{a}\,x - \frac{\sin\theta}{b}\,y = 1.
Multiplicando ambos os lados por -1, fica
\frac{\cos\theta}{a}\,x + \frac{\sin\theta}{b}\,y = -1.

Passo 5

Compare as duas equações obtidas:
\frac{\cos\theta}{a}\,x + \frac{\sin\theta}{b}\,y = 1 \quad\text{e}\quad \frac{\cos\theta}{a}\,x + \frac{\sin\theta}{b}\,y = -1.
Elas têm o mesmo vetor normal \bigl(\tfrac{\cos\theta}{a},\,\tfrac{\sin\theta}{b}\bigr), portanto são retas paralelas.

Resposta

As tangentes nos extremos de qualquer diâmetro têm o mesmo vetor normal e, por isso, são paralelas.

Exercícios relacionados