Mostre que as retas tangentes a uma elipse nos pontos extremos de um diâmetro são paralelas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada a elipse de equação
as retas tangentes a ela nos extremos de qualquer diâmetro são paralelas.
Conteúdo: geometria analítica de cônicas, em particular tangente à elipse.
Conteúdo: geometria analítica de cônicas, em particular tangente à elipse.
Passo 2
Usamos a parametrização usual da elipse, de modo que um ponto genérico na elipse seja
O ponto diametralmente oposto é
Passo 3
A equação da reta tangente à elipse em um ponto
satisfaz
Aplicando em
, isto é,
e
, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula ao ponto
, onde
. A reta tangente em
é
Multiplicando ambos os lados por
, fica
Passo 5
Compare as duas equações obtidas:
Elas têm o mesmo vetor normal
, portanto são retas paralelas.
Resposta
As tangentes nos extremos de qualquer diâmetro têm o mesmo vetor normal e, por isso, são paralelas.