Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \vec{F}=3 x y \vec{i}+3 x^{2} y \vec{j}+z^{3} \vec{k} e S é a superfície da esfera unitária.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}=3xy\,\vec{i}+3x^{2}y\,\vec{j}+z^{3}\,\vec{k} através da superfície S da esfera unitária. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que nos permite transformar o fluxo de superfície num integral de volume do divergente de \vec{F}.

Passo 2

Calculamos o divergente de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(3xy) +\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}) =3y+3x^{2}+3z^{2}.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV =\iiint_{V}\bigl(3y+3x^{2}+3z^{2}\bigr)dV,
onde V é o volume da bola unitária.

Passo 4

Separamos o integral em três partes:
\iiint_{V}3y\,dV,\quad \iiint_{V}3x^{2}\,dV,\quad \iiint_{V}3z^{2}\,dV.
Pela simetria da bola em torno da origem,
\iiint_{V}y\,dV=0,
pois as contribuições de y>0 e y<0 se anulam.

Passo 5

Para \iiint_{V}x^{2}\,dV e \iiint_{V}z^{2}\,dV, usamos que
\iiint_{V}r^{2}\,dV =\int_{0}^{1}\bigl(r^{2}\bigr)(4\pi r^{2})\,dr =4\pi\int_{0}^{1}r^{4}\,dr =\frac{4\pi}{5},
e pela simetria em x,y,z,
\iiint_{V}x^{2}\,dV =\iiint_{V}y^{2}\,dV =\iiint_{V}z^{2}\,dV =\frac{1}{3}\iiint_{V}r^{2}\,dV =\frac{4\pi}{15}.
Então
\iiint_{V}3x^{2}\,dV =3\cdot\frac{4\pi}{15} =\frac{4\pi}{5}, \quad \iiint_{V}3z^{2}\,dV =\frac{4\pi}{5}.

Passo 6

Somando as contribuições,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =0+\frac{4\pi}{5}+\frac{4\pi}{5} =\frac{8\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{5}

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