Calcule
, onde
e
é a superfície da esfera unitária.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
da esfera unitária. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que nos permite transformar o fluxo de superfície num integral de volume do divergente de
.
Passo 2
Calculamos o divergente de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
onde
é o volume da bola unitária.
Passo 4
Separamos o integral em três partes:
Pela simetria da bola em torno da origem,
pois as contribuições de
e
se anulam.
Passo 5
Para
e
, usamos que
e pela simetria em
,
Então
Passo 6
Somando as contribuições,