Sejam X e Y dois subconjuntos de \mathbb{R}, não vazios e arbitrários (limitados ou não). Definamos X+Y=\{x+y: x \in X e y \in Y\} e -X=\{-x: x \in X\}. Verifique:
\inf (-X)=-\sup X e \sup (-X)=-\inf X.

Passo 1

O enunciado diz que, para um conjunto não vazio X\subseteq\mathbb{R}, definimos
-\,X = \{-x : x\in X\}.
Queremos provar duas igualdades envolvendo ínfimo e supremo:
\inf(-X) = -\sup X \quad\text{e}\quad \sup(-X) = -\inf X.
Vamos usar as definições de cota inferior, cota superior, ínfimo (maior cota inferior) e supremo (menor cota superior), além da propriedade de ordem invertida pela multiplicação por -1.

Passo 2

Mostramos que -\sup X é cota inferior de -X.
Seja u\in -X. Então existe x\in X tal que u=-x. Como x\le \sup X, multiplica-mos por -1 (invertendo a desigualdade) e obtemos
- x \;\ge\; -\,\sup X.
Logo todo elemento de -X é maior ou igual a -\sup X, isto é, -\sup X é uma cota inferior de -X.

Passo 3

Mostramos que -\sup X é a maior cota inferior de -X.
Seja m qualquer cota inferior de -X. Então para todo x\in X vale
- x \;\ge\; m \;\Longrightarrow\; x \;\le\; -m.
Assim -m é cota superior de X. Como \sup X é o menor dentre os superiores de X, temos
\sup X \;\le\;-m \;\Longrightarrow\; m \;\le\;-\,\sup X.
Portanto não existe cota inferior de -X maior do que -\sup X, ou seja
\inf(-X) = -\,\sup X.

Passo 4

De modo análogo, provamos \sup(-X)=-\inf X.
1. Para mostrar que -\inf X é cota superior de -X, tome u=-x\in -X. Como x\ge\inf X, ao multiplicar por -1 obtemos
- x \;\le\; -\,\inf X,
logo -\inf X domina todos os elementos de -X.
2. Se M é outra cota superior de -X, então para todo x\in X,
- x \;\le\; M \;\Longrightarrow\; x \;\ge\; -M,
isto é, -M é cota inferior de X. Como \inf X é a maior cota inferior de X, vem \inf X \ge -M, ou seja M\ge -\inf X. Assim -\inf X é o menor dos superiores de -X, e
\sup(-X) = -\,\inf X.

Resposta

\inf(-X) = -\sup X \quad \sup(-X) = -\inf X

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