Sejam
e
dois subconjuntos de
, não vazios e arbitrários (limitados ou não). Definamos
e
e
. Verifique:
e
.
Passo 1
O enunciado diz que, para um conjunto não vazio
, definimos
Queremos provar duas igualdades envolvendo ínfimo e supremo:
Vamos usar as definições de cota inferior, cota superior, ínfimo (maior cota inferior) e supremo (menor cota superior), além da propriedade de ordem invertida pela multiplicação por
.
Passo 2
Mostramos que
é cota inferior de
.
Seja . Então existe
tal que
. Como
, multiplica-mos por
(invertendo a desigualdade) e obtemos
Seja
Logo todo elemento de
é maior ou igual a
, isto é,
é uma cota inferior de
.
Passo 3
Mostramos que
é a maior cota inferior de
.
Seja qualquer cota inferior de
. Então para todo
vale
Seja
Assim
é cota superior de
. Como
é o menor dentre os superiores de
, temos
Portanto não existe cota inferior de
maior do que
, ou seja
Passo 4
De modo análogo, provamos
.
. Para mostrar que
é cota superior de
, tome
. Como
, ao multiplicar por
obtemos
logo
domina todos os elementos de
.
. Se
é outra cota superior de
, então para todo
,
isto é,
é cota inferior de
. Como
é a maior cota inferior de
, vem
, ou seja
. Assim
é o menor dos superiores de
, e