Encontre o fluxo do campo vetorial \vec{F}=\left(x-y^{2}\right) \vec{i}+y \vec{j}+x^{3} \vec{k} fora do paralelepípedo sólido [0,1] \times[1,2] \times[1,4].

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}=(x - y^{2})\,\vec{i} + y\,\vec{j} + x^{3}\,\vec{k} através da superfície externa do paralelepípedo
[0,1]\times[1,2]\times[1,4]. Vamos aplicar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz que esse fluxo é igual ao integral triplo do divergente de \vec{F} sobre o volume.

Passo 2

Calcular o divergente de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x - y^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(x^{3}) = 1 + 1 + 0 = 2.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo para fora é
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV = \iiint_{V}2\,dV.

Passo 4

Como o integrando é constante,
\iiint_{V}2\,dV = 2 \,\times \text{Vol}(V).
O volume do paralelepípedo V=[0,1]\times[1,2]\times[1,4] é
\text{Vol}(V) = (1-0)\,(2-1)\,(4-1) = 1\cdot1\cdot3 = 3.

Passo 5

Logo, o fluxo vale
2 \times 3 = 6.

Resposta

6

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