Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, sendo S a fronteira do sólido E com normal exterior unitária \vec{n},
\vec{F}(x, y, z)=-2 x y \vec{i}+y^{2} \vec{j}+3 z \vec{k} \text { e } E=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1 \text { e } z \geqslant x+y\right\}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F(x,y,z)=(-2xy,y^2,3z) através da superfície fechada S=\partial E, onde
E=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le1,\\ z\ge x+y\},
com normal exterior. Vamos usar o Teorema da Divergência, pois S fecha completamente o volume E.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\div \vec F =\frac{\partial(-2xy)}{\partial x} +\frac{\partial(y^2)}{\partial y} +\frac{\partial(3z)}{\partial z} =-2y+2y+3=3.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{E}\div \vec F\,dV = \iiint_{E}3\,dV = 3\;\Vol(E).

Passo 4

O sólido E é a metade da esfera unitária, pois o plano z=x+y passa pela origem e divide a bola em dois volumes iguais. O volume da esfera de raio 1 é \frac43\pi, logo
\Vol(E)=\frac12\cdot\frac43\pi=\frac23\pi.

Passo 5

Substituindo em (3):
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =3\cdot\frac23\pi =2\pi.

Resposta

2\pi

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