Use o teorema de Stokes para calcular
\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde
\vec{F}(x, y, z)=(y-z, z-x, x-y) e C é a curva interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1, com o plano x+z=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima;

Passo 1

Estamos querendo calcular
\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r
onde \mathbf F(x,y,z)=(y-z,\;z-x,\;x-y) e C é a curva de interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x+z=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Pelo Teorema de Stokes, podemos trocar essa integral de linha por uma integral de superfície:
\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS,
sendo S qualquer superfície limitada por C e \mathbf n a normal unitária escolhida de modo que a orientação de C seja a dada.

Passo 2

Escolhemos S como a parte do plano
\;x+z=1
com x^2+y^2\le1. Uma normal ao plano é \nabla(x+z-1)=(1,0,1). Como queremos que C seja percorrida anti-horário vista de cima (eixo z positivo), escolhemos a normal unitária com componente em z positiva:
\mathbf n=\frac{(1,0,1)}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Calculamos o rotacional de \mathbf F:
\nabla\times\mathbf F =\Bigl(\frac{\partial}{\partial y}(x-y)-\frac{\partial}{\partial z}(z-x),\; \frac{\partial}{\partial z}(y-z)-\frac{\partial}{\partial x}(x-y),\; \frac{\partial}{\partial x}(z-x)-\frac{\partial}{\partial y}(y-z)\Bigr) =(-2,-2,-2).

Passo 4

O produto escalar entre o rotacional e a normal é
(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n =\bigl(-2,-2,-2\bigr)\cdot\frac{(1,0,1)}{\sqrt2} =\frac{-2-2}{\sqrt2}=-\frac{4}{\sqrt2}=-2\sqrt2.

Passo 5

A área de superfície e a projeção no plano xy estão relacionadas por
dS=\sqrt{1+(\partial z/\partial x)^2+(\partial z/\partial y)^2}\,dA =\sqrt{1+1+0}\,dA =\sqrt2\,dA,
pois z=1-x \partial z/\partial x=-1 e \partial z/\partial y=0. Logo a integral de superfície é
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS =\iint_{D}\bigl(-2\sqrt2\bigr)\bigl(\sqrt2\,dA\bigr) =\iint_{D}(-4)\,dA =-4\cdot\text{Area}(D) =-4\pi.

Resposta

\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r=-4\pi.

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