Determine o fluxo de \vec{F} através de S, na orientação dada:
\vec{F}=z \vec{i}+y \vec{j}+x \vec{k} e S é o helicoide \sigma(u, v)=(u \cos v, u \operatorname{sen} v, v), 0 \leqslant u \leqslant 1,0 \leqslant v \leqslant \pi \operatorname{com} orientação ascendente;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F}=z\,\vec{i}+y\,\vec{j}+x\,\vec{k} através do helicoide paramatrizado por
\sigma(u,v) = \bigl(u\cos v,\;u\sin v,\;v\bigr), \quad 0\le u\le1,\;0\le v\le\pi,
com orientação ascendente (i.e., normal com componente k positiva). Vamos usar integral de superfície paramétrica:
\iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} =\iint_D \vec{F}\bigl(\sigma(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\sigma_u\times\sigma_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Calculamos os vetores tangentes \sigma_u e \sigma_v.
\sigma_u=(\cos v,\;\sin v,\;0), \quad \sigma_v=(-u\sin v,\;u\cos v,\;1).

Passo 3

Determinamos o vetor normal orientado:
\sigma_u\times\sigma_v =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ \cos v&\sin v&0\\\\ -\,u\sin v&u\cos v&1 \end{vmatrix} =(\sin v,\;-\,\cos v,\;u).
Note que a componente em k é u\ge0, garantindo orientação ascendente.

Passo 4

Avaliamo-s \vec{F} na parametrização:
\vec{F}\bigl(\sigma(u,v)\bigr) = v\,\vec{i} + (u\sin v)\,\vec{j} + (u\cos v)\,\vec{k}.

Passo 5

Fazemos o produto escalar
\vec{F}(\sigma)\cdot(\sigma_u\times\sigma_v) = v\sin v \;-\;u\sin v\cos v\;+\;u^2\cos v.

Passo 6

Agora integramos sobre D=[0,1]\times[0,\pi]:
\iint_D\bigl[v\sin v - u\sin v\cos v + u^2\cos v\bigr]\,du\,dv.
Integramos primeiro em u:
\int_0^1 v\sin v\,du = v\sin v, \quad \int_0^1 -u\sin v\cos v\,du = -\tfrac12\sin v\cos v, \quad \int_0^1 u^2\cos v\,du = \tfrac13\cos v.
Logo o integrando vira
v\sin v \;-\;\tfrac12\sin v\cos v\;+\;\tfrac13\cos v.

Passo 7

Integramos em v de 0 a \pi:
  1. \displaystyle\int_0^\pi v\sin v\,dv = \bigl[-v\cos v+\sin v\bigr]_0^\pi = \pi.
  2. \displaystyle\int_0^\pi \sin v\cos v\,dv = 0.
  3. \displaystyle\int_0^\pi \cos v\,dv = 0.
    Somando, o fluxo vale \pi.

Resposta

\pi

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