Seja \vec{F}(x, y, z)=x y^{2} \vec{i}+x y z \vec{j}+\left(z-y^{2} z-\frac{1}{2} x z^{2}\right) \vec{k} e seja S a superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z \geqslant 0, sendo \vec{n} a normal com componente z \geqslant 0. Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS
através da superfície S\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,z\ge0, com \vec{n} externo (com componente z\ge0). Vamos usar o Teorema da Divergência fechando S pelo disco D no plano z=0, ou seja, integrar \nabla\cdot\vec{F} no volume hemisférico e subtrair o fluxo em D.

Passo 2

Calculemos a divergência de \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=x y^{2}\,\vec{i}+x y z\,\vec{j}+\bigl(z-y^{2}z-\tfrac12 xz^{2}\bigr)\,\vec{k}.
\nabla\!\cdot\!\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(x y z) +\frac{\partial}{\partial z}\!\bigl(z-y^{2}z-\tfrac12 xz^{2}\bigr).
Calculando cada termo: \partial_{x}(x y^{2})=y^{2}, \partial_{y}(x y z)=x z, \partial_{z}(z-y^{2}z-\tfrac12 xz^{2})=1-y^{2}-x z.
Somando,
\nabla\!\cdot\!\vec{F} =y^{2}+x z+1-y^{2}-x z =1.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, no volume V (hemisfério unitário)
\iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS +\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_{D}\,dS =\iiint_{V}(\nabla\!\cdot\!\vec{F})\,dV =\iiint_{V}1\,dV.

Passo 4

No disco D\colon z=0,\;x^{2}+y^{2}\le1, a normal externa ao volume aponta para baixo, \vec{n}_{D}=-\vec{k}. Em z=0, \vec{F}=(x y^{2},\,0,\,0),
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\vec{F}\cdot\vec{n}_{D} =(x y^{2},0,0)\cdot(0,0,-1) =0 \quad\Longrightarrow\quad \iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_{D}\,dS=0.

Passo 5

Assim
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iiint_{V}1\,dV =\text{Vol}(V) =\tfrac12\cdot\tfrac{4\pi}{3} =\tfrac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

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