Resolver a equação diferencial proposta, pelo método de separação de variáveis:
e. x y^{\prime}=\left(1+y^{2}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial de primeira ordem
x\,y' = \sqrt{1+y^2}.
O conteúdo é EDO separável; vamos escrever y' em termos de x e y e depois separar as variáveis.

Passo 2

Colocamos a equação na forma y' = f(x)\,g(y). Dividindo ambos os lados por x e por \sqrt{1+y^2}, obtemos
y' = \frac{\sqrt{1+y^2}}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\,\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}.

Passo 3

Agora separamos as variáveis, colocando termos com y a um lado e com x do outro:
\frac{dy}{\sqrt{1+y^2}} = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{\sqrt{1+y^2}} = \int \frac{dx}{x}.
Sabemos que
\int \frac{dy}{\sqrt{1+y^2}} = \operatorname{arsinh}(y) \quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert + C,
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\operatorname{arsinh}(y) = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Isolamos y aplicando a função hiperbólica seno inverso inversa \operatorname{sinh} em ambos os lados:
y = \operatorname{sinh}\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).
Podemos reescrever C como \ln A (com A>0) para simplificar:
y = \operatorname{sinh}\bigl(\ln(A\lvert x\rvert)\bigr) = \frac{A\lvert x\rvert - \frac{1}{A\lvert x\rvert}}{2}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = \operatorname{sinh}\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr),
ou, equivalentemente, com A = e^{C},
y(x) = \frac{A\,\lvert x\rvert \;-\;\dfrac{1}{A\,\lvert x\rvert}}{2},
onde C (ou A) é a constante arbitrária.

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