Questão 1: Determine os valores de
para os quais a equação diferencial
tem uma solução da forma
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
A gente tá lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem do tipo equação equidimensional. O objetivo é encontrar os valores de
que fazem com que a solução da equação seja da forma
para
. Para isso, vamos substituir essa forma de solução na equação e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução é
. Agora, precisamos calcular as derivadas dessa função para substituir na equação diferencial.
A primeira derivada de
em relação a
é:
A segunda derivada é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
permanece igual.
Agora, a equação fica:
Passo 5
Fatorando
da equação:
Como
nunca é zero para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Essa é uma equação quadrática em
. Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem essa equação.
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática
:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então,
Passo 8
Calculando as duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação diferencial são
e
.