Questão 1: Determine os valores de r para os quais a equação diferencial
t^2 y^prime prime+2 t y^prime-12 y=0
tem uma solução da forma y=t^r para t>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
t^2 y'' + 2 t y' - 12 y = 0
A gente tá lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem do tipo equação equidimensional. O objetivo é encontrar os valores de r que fazem com que a solução da equação seja da forma y = t^r para t > 0 . Para isso, vamos substituir essa forma de solução na equação e resolver para r .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução é y = t^r . Agora, precisamos calcular as derivadas dessa função para substituir na equação diferencial.
A primeira derivada de y em relação a t é:
y' = ddt(t^r) = r t^r-1
A segunda derivada é:
y'' = ddt(y') = ddt(r t^r-1) = r (r-1) t^r-2

Passo 3

Agora, vamos substituir y , y' e y'' na equação diferencial original:
t^2 y'' + 2 t y' - 12 y = 0
Substituindo:
t^2 cdot [r (r-1) t^r-2] + 2 t cdot [r t^r-1] - 12 cdot t^r = 0

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
  1. t^2 cdot r (r-1) t^r-2 = r (r-1) t^(2 + r - 2) = r (r-1) t^r
  2. 2 t cdot r t^r-1 = 2 r t^(1 + r -1) = 2 r t^r
  3. -12 t^r permanece igual.
Agora, a equação fica:
r (r-1) t^r + 2 r t^r - 12 t^r = 0

Passo 5

Fatorando t^r da equação:
t^r [r (r - 1) + 2 r - 12] = 0
Como t^r nunca é zero para t > 0 , podemos dividir ambos os lados por t^r :
r (r - 1) + 2 r - 12 = 0

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
r^2 - r + 2 r - 12 = 0 r^2 + r - 12 = 0
Essa é uma equação quadrática em r . Agora, precisamos encontrar os valores de r que satisfazem essa equação.

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática r^2 + r - 12 = 0 :
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 1 , e c = -12 .
Calculando o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 cdot 1 cdot (-12) = 1 + 48 = 49
Então,
r = -1 pm raiz492 cdot 1 = -1 pm 72

Passo 8

Calculando as duas soluções:
  1. r = -1 + 72 = 62 = 3
  2. r = -1 - 72 = -82 = -4

Resposta

Os valores de r que satisfazem a equação diferencial são r = 3 e r = -4 .

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