Exercício 1. Esboce as curvas paramétricas no intervalo indicado.
x(t)=t+sen t, y(t)=cos t,-pi <= t <= pi;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva paramétrica
x(t)=t+sin t, y(t)=cos t, -pi<= t<=pi
O conteúdo é curva paramétrica em R^2. Para esboçar, precisamos encontrar pontos notáveis, estudar derivadas (inclinação e monotonicidade) e verificar simetrias.

Passo 2

Calculamos os pontos correspondentes a valores-chave de t:
Para t=-pi:
x(-pi)=-pi+sin(-pi)=-pi, y(-pi)=cos(-pi)=-1
Para t=0:
x(0)=0+sin0=0, y(0)=cos0=1
Para t=pi:
x(pi)=pi+sinpi=pi, y(pi)=cospi=-1

Passo 3

Estudamos as derivadas para inclinação e monotonicidade:
x'(t)=1+cos t, y'(t)=-sin t
Como 1+cos t>=0 em todo [-pi,pi] (é zero apenas em t=pmpi), o ponto nunca volta para x menor, isto é, a curva avança ou “para” no máximo. A inclinação da tangente é
dydx=y'(t)x'(t)=-sin t1+cos t
Em t=0 e nos extremos t=pmpi temos tangentes horizontais.

Passo 4

Verificamos simetria:
x(-t)=-t+sin(-t)=-t-sin t=-(t+sin t)=-x(t), y(-t)=cos(-t)=cos t
Logo, a curva é simétrica em relação ao eixo y.

Passo 5

Juntando tudo:
  • A curva vai de (-pi,-1) a (pi,-1).
  • Tem ponto mais alto em (0,1) e tangentes horizontais nos extremos e no topo.
  • É simétrica em relação ao eixo y.
  • O sentido de percurso, à medida que t cresce, é da esquerda para a direita, subindo até t=0 e descendo até t=pi.

Resposta

O esboço é um arco simétrico em relação ao eixo y, partindo de (-pi,-1), passando por (0,1) e chegando em (pi,-1), com tangentes horizontais nos três pontos e andamento da esquerda para a direita.

Exercícios relacionados