Exercício 1. Esboce as curvas paramétricas no intervalo indicado.
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva paramétrica
O conteúdo é curva paramétrica em
. Para esboçar, precisamos encontrar pontos notáveis, estudar derivadas (inclinação e monotonicidade) e verificar simetrias.
Passo 2
Calculamos os pontos correspondentes a valores-chave de
:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 3
Estudamos as derivadas para inclinação e monotonicidade:
Como
em todo
(é zero apenas em
), o ponto nunca volta para
menor, isto é, a curva avança ou “para” no máximo. A inclinação da tangente é
Em
e nos extremos
temos tangentes horizontais.
Passo 4
Verificamos simetria:
Logo, a curva é simétrica em relação ao eixo
.
Passo 5
Juntando tudo:
- A curva vai de
a . - Tem ponto mais alto em
e tangentes horizontais nos extremos e no topo. - É simétrica em relação ao eixo
. - O sentido de percurso, à medida que
cresce, é da esquerda para a direita, subindo até e descendo até .
Resposta
O esboço é um arco simétrico em relação ao eixo
, partindo de
, passando por
e chegando em
, com tangentes horizontais nos três pontos e andamento da esquerda para a direita.