Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de \theta.
r=-1+\cos \theta, \quad \theta=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva polar
r = -1 + \cos\theta
no ponto dado por \theta = \frac{\pi}{2}.
O conteúdo aqui é derivada de curvas em coordenadas polares. Vamos usar as relações
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
e a fórmula
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}.

Passo 2

Primeiro, calculamos
\frac{dr}{d\theta} = -\sin\theta.
Em seguida, obtemos as derivadas de x e y em função de \theta:
\frac{dx}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\cos\theta \;-\; r\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\sin\theta \;+\; r\cos\theta.

Passo 3

Agora avaliamos tudo em \theta = \frac{\pi}{2}.
r\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -1 + \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -1 + 0 = -1,
\frac{dr}{d\theta}\Bigl|_{\theta=\tfrac{\pi}{2}} = -\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -1.
Substituindo em \tfrac{dx}{d\theta} e \tfrac{dy}{d\theta}:
\frac{dx}{d\theta} = (-1)\cdot \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) \;-\; (-1)\cdot \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0 + 1 = 1,
\frac{dy}{d\theta} = (-1)\cdot \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) \;+\; (-1)\cdot \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -1 + 0 = -1.

Passo 4

Finalmente, a inclinação da reta tangente é
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{-1}{1} = -1.

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto \theta = \tfrac{\pi}{2} é -1.

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