Questão 1. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva
indicada em cada item.
Nos casos em que a orientação da curva não for explicitada, considere
orientada positivamente (no sentido anti-horário).
, onde
é o quadrilátero percorrido do
ao
ao
ao
, retornando ao ponto inicial.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema de Green. Aqui temos
e
é o quadrilátero de vértices
orientado positivamente.
Passo 2
Pelo Teorema de Green:
Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Passo 3
A região
é o interior do quadrilátero. Projetando em
, nota-se que
varia de
a
e, para cada
,
vai da reta inferior
até a reta superior que passa por
e
, isto é,
. Assim
Passo 4
Montamos a integral dupla:
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Agora a integral em
: