Questão 1. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva C indicada em cada item.
Nos casos em que a orientação da curva não for explicitada, considere C orientada positivamente (no sentido anti-horário).
\oint_{C}\left(e^{x^{4}}+y^{2}\right) d x+(x y+\sin (\ln y)) d y, onde C é o quadrilátero percorrido do (1,1) ao (1,2) ao (2,3) ao (2,1), retornando ao ponto inicial.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\bigl(e^{x^{4}}+y^{2}\bigr)\,dx+\bigl(xy+\sin(\ln y)\bigr)\,dy
usando o Teorema de Green. Aqui temos
P(x,y)=e^{x^{4}}+y^{2},\quad Q(x,y)=xy+\sin(\ln y),
e C é o quadrilátero de vértices (1,1)\to(1,2)\to(2,3)\to(2,1)\to(1,1) orientado positivamente.

Passo 2

Pelo Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy+\sin(\ln y))=y, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x^4}+y^2)=2y.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y-2y=-y.

Passo 3

A região D é o interior do quadrilátero. Projetando em x, nota-se que x varia de 1 a 2 e, para cada x, y vai da reta inferior y=1 até a reta superior que passa por (1,2) e (2,3), isto é, y=x+1. Assim
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le2,\;1\le y\le x+1\}.

Passo 4

Montamos a integral dupla:
\iint_D(-y)\,dA =-\int_{x=1}^{2}\int_{y=1}^{x+1}y\,dy\,dx.
Primeiro integramos em y:
\int_{1}^{x+1}y\,dy =\bigl[\tfrac{y^2}{2}\bigr]_{1}^{x+1} =\frac{(x+1)^2-1}{2} =\frac{x^2+2x}{2}.

Passo 5

Agora a integral em x:
-\int_{1}^{2}\frac{x^2+2x}{2}\,dx =-\frac12\int_{1}^{2}(x^2+2x)\,dx =-\frac12\Bigl[\frac{x^3}{3}+x^2\Bigr]_{1}^{2} =-\frac12\Bigl(\frac{20}{3}-\frac{4}{3}\Bigr) =-\frac12\cdot\frac{16}{3} =-\frac{8}{3}.

Resposta

-\tfrac{8}{3}

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