4^{\circ} ) Suponha que C(x, y)=\cos (3 x-y) dá a concentração de açúcar em um fluído no ponto (x, y) e que uma formiga está no ponto P\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right).
a) Em que direção ela deve se deslocar a partir do ponto P, se objetiva chegar ao ponto de concentração máxima de açúcar no fluído?
b) Qual o valor máximo da concentração de açúcar neste ponto?

Passo 1

O enunciado nos dá a concentração de açúcar em cada ponto (x,y) por
C(x,y)=\cos\bigl(3x-y\bigr)
e quer (a) a direção de máximo aumento dessa função a partir de
P\!\bigl(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4}\bigr)
e (b) o valor máximo da derivada direcional nesse ponto. Vamos usar derivadas parciais e o gradiente para resolver.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de C. Como
C(x,y)=\cos\bigl(3x-y\bigr),
vale a cadeia:
\frac{\partial C}{\partial x} =-\sin(3x-y)\,\frac{\partial(3x-y)}{\partial x} =-3\sin(3x-y),
\frac{\partial C}{\partial y} =-\sin(3x-y)\,\frac{\partial(3x-y)}{\partial y} =+1\cdot\sin(3x-y).
Logo o gradiente é
\nabla C(x,y)=\bigl(-3\sin(3x-y),\;\sin(3x-y)\bigr).

Passo 3

Avalia-se o gradiente em \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4}\bigr). Primeiro
3x-y=3\cdot\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\pi}{4} =\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{4} =\tfrac{\pi}{4},
e \sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2}. Assim
\nabla C\!\bigl(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\Bigl(-3\cdot\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) =\tfrac{\sqrt2}{2}\,(-3,1).

Passo 4

A direção de máximo aumento de C é a mesma do gradiente. Tomando o vetor unitário, basta normalizar \nabla C(P):
\|\nabla C(P)\| =\bigl\|\tfrac{\sqrt2}{2}(-3,1)\bigr\| =\tfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{(-3)^2+1^2} =\tfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{10} =\sqrt{5}.
O vetor unitário fica
\mathbf{u} =\frac{1}{\|\nabla C(P)\|}\,\nabla C(P) =\frac{1}{\sqrt{5}}\;\tfrac{\sqrt2}{2}\,(-3,1) =\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{10}},\;\tfrac{1}{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 5

O valor máximo da derivada direcional em P é justamente o módulo do gradiente naquele ponto, isto é
\max_{\|\mathbf{v}\|=1}D_{\mathbf{v}}C(P) =\|\nabla C(P)\| =\sqrt{5}.

Resposta

a) A direção de máximo aumento é dada pelo vetor unitário
\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{10}},\,\tfrac{1}{\sqrt{10}}\Bigr).
b) O valor máximo da derivada direcional em P é \sqrt{5}.

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