Questão 1. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva C indicada em cada item.
Nos casos em que a orientação da curva não for explicitada, considere C orientada positivamente (no sentido anti-horário).
\oint_{C} x \cos y d x-y \sin x d y, onde C é o quadrado de vértices (0,0),(\pi / 2,0),(\pi / 2, \pi / 2)
e (0, \pi / 2).

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de linha
\oint_{C}x\cos y\,dx \;-\; y\sin x\,dy
ao longo do quadrado C de vértices (0,0), (\pi/2,0), (\pi/2,\pi/2), (0,\pi/2), orientado positivamente.
Vamos usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é a região interna a C.

Passo 2

Aqui P(x,y)=x\cos y e Q(x,y)=-y\sin x. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial(-y\sin x)}{\partial x} =-y\cos x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial(x\cos y)}{\partial y} =-x\sin y.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}x\cos y\,dx - y\sin x\,dy =\iint_{D}\Bigl(-y\cos x - (-x\sin y)\Bigr)\,dA =\iint_{D}\bigl(-y\cos x + x\sin y\bigr)\,dA.
A região D é o retângulo \{0\le x\le \pi/2,\;0\le y\le \pi/2\}.

Passo 4

Escrevemos a integral dupla em duas partes:
\iint_{D}(-y\cos x)\,dA \;+\; \iint_{D}(x\sin y)\,dA = -\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2}y\cos x\,dx\,dy \;+\; \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2}x\sin y\,dx\,dy.

Passo 5

Calculamos separadamente:
I_1=\int_{0}^{\pi/2}\!\!y\,dy\;\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx =\frac{\bigl(\pi/2\bigr)^2}{2}\cdot1 =\frac{\pi^2}{8},
I_2=\int_{0}^{\pi/2}\!\!\sin y\,dy\;\int_{0}^{\pi/2}x\,dx =1\cdot\frac{\bigl(\pi/2\bigr)^2}{2} =\frac{\pi^2}{8}.

Passo 6

Juntando:
-\;I_1 + I_2 =-\frac{\pi^2}{8}+\frac{\pi^2}{8}=0.

Resposta

0

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