3^{\circ} ) Considere um retângulo com lados x e y variando com o tempo. O lado x aumenta com uma velocidade 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o lado y diminui com uma velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Com que velocidade está variando o perímetro do retângulo?
b) Com que velocidade está variando a área deste retângulo?

Passo 1

O enunciado fala de um retângulo com lados x(t) e y(t) que variam no tempo. Sabemos que \displaystyle \frac{dx}{dt}=5\\ \mathrm{m/s} (lado x crescendo)
e \displaystyle \frac{dy}{dt}=-4\\ \mathrm{m/s} (lado y decrescendo).
O que se pede são as taxas de variação do perímetro e da área em função dessas velocidades, usando derivadas em relação ao tempo.

Passo 2

O perímetro P de um retângulo é dado por
P = 2x + 2y.
Para encontrar a velocidade de variação do perímetro, derivamos ambos os lados em relação ao tempo t:
\frac{dP}{dt} = 2\,\frac{dx}{dt} + 2\,\frac{dy}{dt}.

Passo 3

Substituindo \displaystyle \frac{dx}{dt}=5 e \displaystyle \frac{dy}{dt}=-4 na expressão de \frac{dP}{dt}, obtemos
\frac{dP}{dt} = 2\cdot 5 \;+\;2\cdot(-4) = 10 - 8 = 2.
Logo, o perímetro aumenta a 2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

A área A do retângulo é dada por
A = x\,y.
Derivando em relação a t (regra do produto), temos
\frac{dA}{dt} = x\,\frac{dy}{dt} \;+\; y\,\frac{dx}{dt}.

Passo 5

Agora substituímos \displaystyle \frac{dx}{dt}=5 e \displaystyle \frac{dy}{dt}=-4 na fórmula de \frac{dA}{dt}:
\frac{dA}{dt} = x\cdot(-4) + y\cdot 5 = 5y - 4x.
Portanto, a taxa de variação da área é \displaystyle 5y - 4x (em \mathrm{m^2/s}), dependendo dos valores instantâneos de x e y.

Resposta

a) \displaystyle \frac{dP}{dt} = 2\\ \mathrm{m/s}.
b) \displaystyle \frac{dA}{dt} = 5y - 4x\\ \mathrm{m^2/s}.

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