) Considere um retângulo com lados
e
variando com o tempo. O lado
aumenta com uma velocidade
e o lado
diminui com uma velocidade de
.
a) Com que velocidade está variando o perímetro do retângulo?
b) Com que velocidade está variando a área deste retângulo?
a) Com que velocidade está variando o perímetro do retângulo?
b) Com que velocidade está variando a área deste retângulo?
Passo 1
O enunciado fala de um retângulo com lados
e
que variam no tempo. Sabemos que
(lado
crescendo)
e (lado
decrescendo).
O que se pede são as taxas de variação do perímetro e da área em função dessas velocidades, usando derivadas em relação ao tempo.
e
O que se pede são as taxas de variação do perímetro e da área em função dessas velocidades, usando derivadas em relação ao tempo.
Passo 2
O perímetro
de um retângulo é dado por
Para encontrar a velocidade de variação do perímetro, derivamos ambos os lados em relação ao tempo
:
Passo 3
Substituindo
e
na expressão de
, obtemos
Logo, o perímetro aumenta a
.
Passo 4
A área
do retângulo é dada por
Derivando em relação a
(regra do produto), temos
Passo 5
Agora substituímos
e
na fórmula de
:
Portanto, a taxa de variação da área é
(em
), dependendo dos valores instantâneos de
e
.
Resposta
a)
b)
b)