Calcule, por inspeção,
. Explique seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
por inspeção. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e propriedades das funções. Para resolver, vamos precisar entender como separar a integral e analisar as funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a integral dada:
Perceba que a expressão dentro da integral pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Isso é importante porque, quando temos um integrando que é o produto de duas funções independentes, podemos separar as integrais.
Passo 3
Vamos separar a integral dupla em duas integrais simples:
Agora, precisamos calcular cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 4
Vamos começar pela integral em relação a
:
Sabemos que a função
é ímpar, ou seja,
. Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero:
Portanto:
Passo 5
Agora, como uma das integrais é zero, todo o produto das integrais será zero:
Não precisamos nem calcular a outra integral porque qualquer número multiplicado por zero é zero.
Resposta
O valor da integral dupla é igual a
.