Calcule, por inspeção, integral0^ln 2 integral-1^1 raize^y-1 tg x d x d y. Explique seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral0^ln 2 integral-1^1 raize^y - 1 tan x , dx , dy por inspeção. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e propriedades das funções. Para resolver, vamos precisar entender como separar a integral e analisar as funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral dada:
integral0^ln 2 integral-1^1 raize^y - 1 tan x , dx , dy
Perceba que a expressão dentro da integral pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de y e outra que depende apenas de x :
raize^y - 1 cdot tan x
Isso é importante porque, quando temos um integrando que é o produto de duas funções independentes, podemos separar as integrais.

Passo 3

Vamos separar a integral dupla em duas integrais simples:
( integral0^ln 2 raize^y - 1 , dy ) cdot ( integral-1^1 tan x , dx )
Agora, precisamos calcular cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 4

Vamos começar pela integral em relação a x :
integral-1^1 tan x , dx
Sabemos que a função tan x é ímpar, ou seja, tan(-x) = -tan x . Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero:
integral-a^a função ímpar , dx = 0 çãí
Portanto:
integral-1^1 tan x , dx = 0

Passo 5

Agora, como uma das integrais é zero, todo o produto das integrais será zero:
( integral0^ln 2 raize^y - 1 , dy ) cdot 0 = 0
Não precisamos nem calcular a outra integral porque qualquer número multiplicado por zero é zero.

Resposta

O valor da integral dupla é igual a 0.

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