Calcule as seguintes integrais duplas sobre retângulos:
integralR^R integralR xx y+1 d A ; R=(x, y) in R^2: 0 <= x <= pi6, 0 <= y <= pi3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral dupla sobre um retângulo R . A função que vamos integrar é xx y + 1 . O retângulo R está definido pelos valores de x entre 0 e pi6 e de y entre 0 e pi3 . Para resolver isso, vamos usar integrais iteradas, ou seja, vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a y . A integral interna fica assim:
integral0^pi3 xx y + 1 , dy
Aqui, tratamos x como uma constante porque estamos integrando em relação a y .

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:
u = x y + 1 Rightarrow du = x , dy Rightarrow dy = dux
Substituindo na integral:
integral xu cdot dux = integral 1u , du = ln|u| + C
Voltando para y :
ln(x y + 1) |0^pi3 = ln(x cdot pi3 + 1) - ln(1) = ln(1 + pi x3)

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x :
integral0^pi6 ln(1 + pi x3) , dx
Essa integral não é tão direta, então vamos usar integração por partes.

Passo 5

Escolhemos:
u = ln(1 + pi x3) Rightarrow du = pi3 + pi x , dx
dv = dx Rightarrow v = x
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
x ln(1 + pi x3) - integral pi x3 + pi x , dx

Passo 6

Para resolver integral pi x3 + pi x , dx , fazemos outra substituição:
w = 3 + pi x Rightarrow dw = pi , dx Rightarrow dx = dwpi
Expressando x em termos de w :
x = w - 3pi
Substituindo na integral:
integral pi (w - 3)/piw cdot dwpi = 1pi integral (1 - 3w) , dw = 1pi (w - 3 ln|w|) + C
Voltando para x :
1pi (3 + pi x - 3 ln(3 + pi x)) + C

Passo 7

Agora, juntando tudo:
x ln(1 + pi x3) - 1pi (3 + pi x - 3 ln(3 + pi x))
Simplificando:
x ln(1 + pi x3) - 3pi - x + 3pi ln(3 + pi x)
Avaliado de 0 a pi6 .

Passo 8

Vamos substituir os limites de integração:
Para x = pi6 :
pi6 ln(1 + pi cdot pi63) - 3pi - pi6 + 3pi ln(3 + pi cdot pi6)
Simplificando:
pi6 ln(1 + pi^218) - 3pi - pi6 + 3pi ln(3 + pi^26)
Para x = 0 :
0 - 3pi - 0 + 3pi ln(3) = -3pi + 3pi ln(3)

Passo 9

Calculando a diferença:
(pi6 ln(1 + pi^218) - 3pi - pi6 + 3pi ln(3 + pi^26)) - (-3pi + 3pi ln(3))
Isso simplifica para:
pi6 ln(1 + pi^218) - pi6 + 3pi ln(3 + pi^263)

Resposta

Após realizar os cálculos, o valor aproximado da integral dupla é aproximadamente 0,045.

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