Calcule as seguintes integrais duplas sobre retângulos: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral dupla sobre um retângulo . A função que vamos integrar é . O retângulo está definido pelos valores de entre e e de entre e . Para resolver isso, vamos usar integrais iteradas, ou seja, vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a . A integral interna fica assim:
Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:
Substituindo na integral:
Voltando para :
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a x :
integral0^pi6 ln(1 + pi x3) , dx
Essa integral não é tão direta, então vamos usar integração por partes.
Passo 5
Escolhemos:
u = ln(1 + pi x3) Rightarrow du = pi3 + pi x , dx
dv = dx Rightarrow v = x
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
x ln(1 + pi x3) - integral pi x3 + pi x , dx
Passo 6
Para resolver integral pi x3 + pi x , dx , fazemos outra substituição:
w = 3 + pi x Rightarrow dw = pi , dx Rightarrow dx = dwpi
Expressando x em termos de w :
x = w - 3pi
Substituindo na integral:
integral pi (w - 3)/piw cdot dwpi = 1pi integral (1 - 3w) , dw = 1pi (w - 3 ln|w|) + C
Voltando para x :
1pi (3 + pi x - 3 ln(3 + pi x)) + C
Passo 7
Agora, juntando tudo:
x ln(1 + pi x3) - 1pi (3 + pi x - 3 ln(3 + pi x))
Simplificando:
x ln(1 + pi x3) - 3pi - x + 3pi ln(3 + pi x)
Avaliado de 0 a pi6 .
Passo 8
Vamos substituir os limites de integração:
Para x = pi6 :
pi6 ln(1 + pi cdot pi63) - 3pi - pi6 + 3pi ln(3 + pi cdot pi6)