Utilize o teste da razão, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente usar o teste da razão para descobrir se a série
converge ou diverge. O teste da razão é uma técnica da Análise de Séries, que nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas. Para aplicar esse teste, a gente precisa calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é
. Para aplicar o teste da razão, vamos calcular a razão
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na razão:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro,
e
. Substituindo na fração:
Passo 5
Agora, cancelamos termos que se repetem no numerador e denominador:
Passo 6
Simplificamos ainda mais:
Passo 7
Agora, calculamos o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Passo 8
Segundo o teste da razão, se o limite
, a série converge. No nosso caso,
.
Resposta
Portanto, a série
converge pelo teste da razão.