Utilize o teste da razão, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
sumn=1^infty n^2 2^nn!;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente usar o teste da razão para descobrir se a série sumn=1^infty n^2 2^nn! converge ou diverge. O teste da razão é uma técnica da Análise de Séries, que nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas. Para aplicar esse teste, a gente precisa calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é an = n^2 2^nn!. Para aplicar o teste da razão, vamos calcular a razão an+1an.

Passo 3

Vamos substituir an+1 e an na razão:
an+1an = (n+1)^2 2^n+1(n+1)! cdot n!n^2 2^n

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, 2^n+1 = 2 cdot 2^n e (n+1)! = (n+1) cdot n!. Substituindo na fração:
an+1an = (n+1)^2 cdot 2 cdot 2^n(n+1) cdot n! cdot n!n^2 cdot 2^n

Passo 5

Agora, cancelamos termos que se repetem no numerador e denominador:
an+1an = (n+1)^2 cdot 2(n+1) cdot n^2 = (n+1) cdot 2n^2

Passo 6

Simplificamos ainda mais:
an+1an = 2(n+1)n^2 = 2n + 2n^2 = 2n + 2n^2

Passo 7

Agora, calculamos o limite dessa expressão quando n tende ao infinito:
limn to infty ( 2n + 2n^2 ) = 0 + 0 = 0

Passo 8

Segundo o teste da razão, se o limite L = limn to infty an+1an < 1, a série converge. No nosso caso, L = 0 < 1.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty n^2 2^nn! converge pelo teste da razão.

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