d xa y-b z=d yc z-a x=d zb x-c y

Passo 1

O enunciado apresenta a forma diferencial
dxa,y - b,z ;=;dyc,z - a,x;=;dzb,x - c,y,
que é homogênea e simétrica em (x,y,z). Para resolver, vamos introduzir um parâmetro t tal que
dx = (a,y - b,z),dt, dy = (c,z - a,x),dt, dz = (b,x - c,y),dt
Isso nos dá um sistema linear de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevendo em forma vetorial, seja r=(x,y,z)^T. O sistema fica
d rdt = M, r,
onde
M= 0 & a & -b -a & 0 & c b & -c & 0
Observamos que M^T = -M, ou seja, M é anti-simétrico. Uma propriedade de matrizes anti-simétricas é que
ddtl( rcdot rr) =2, rcdotd rdt =2, rcdot(M r) =0,
pois rcdot(M r)= r^T M r=- r^T M^T r=- rcdot(M r). Logo
x^2 + y^2 + z^2 = C1
é uma primeira integral.

Passo 3

Para achar a segunda integral, procuramos um vetor tal que . Resolvendo
vê-se que uma solução não-trivial é . Então
Portanto
é a segunda integral.

Resposta

As integrais primeiras do sistema, ou seja, as soluções gerais implícitas, são
x^2 + y^2 + z^2 = C1,
c,x + b,y + a,z = C2

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