Passo 1
O enunciado apresenta a forma diferencial
que é homogênea e simétrica em
. Para resolver, vamos introduzir um parâmetro
tal que
Isso nos dá um sistema linear de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Escrevendo em forma vetorial, seja
. O sistema fica
onde
Observamos que
M^T = -M , ou seja,
M é anti-simétrico. Uma propriedade de matrizes anti-simétricas é que
pois
rcdot(M r)= r^T M r=- r^T M^T r=- rcdot(M r) . Logo
é uma primeira integral.
Passo 3
Para achar a segunda integral, procuramos um vetor
tal que
. Resolvendo
vê-se que uma solução não-trivial é
. Então
Portanto
é a segunda integral.
Resposta
As integrais primeiras do sistema, ou seja, as soluções gerais implícitas, são