Dado que e , esses resultados (distintos entre si) contradizem o Teorema de Fubini? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas integrais duplas diferentes de uma função específica, onde a ordem de integração muda. O conteúdo aqui envolve Cálculo Integral, mais precisamente o Teorema de Fubini, que trata da troca de ordem de integração. Precisamos entender se esses resultados diferentes nas integrais contradizem o Teorema de Fubini.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Fubini. Esse teorema diz que, se a função que estamos integrando é contínua em uma região retangular e é absolutamente integrável, então podemos trocar a ordem de integração sem alterar o resultado da integral dupla. Ou seja, a ordem de integração não muda o valor final.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que estamos lidando: . Precisamos verificar se essa função é contínua e se é absolutamente integrável na região de interesse, que é o quadrado .
Passo 4
Observando a função , vemos que o denominador nunca é zero nessa região, já que e variam de 0 a 1, portanto . A única preocupação seria quando , mas isso só ocorre quando e , que é um único ponto. Então, a função é contínua quase em toda a região.
Passo 5
Agora, vamos verificar a integrabilidade absoluta. Precisamos calcular . Se essa integral for finita, então a função é absolutamente integrável e o Teorema de Fubini se aplica.
Passo 6
Calculando a integral de valor absoluto:
integral0^1 integral0^1 | x - y(x + y)^2 | dx dy
Sem resolver de fato, sabemos que a função é simétrica em relação a x e y , e a integral resultará em um valor finito. Assim, a função é absolutamente integrável na região.
Passo 7
Seguindo o Teorema de Fubini, como a função é contínua e absolutamente integrável na região, a ordem de integração não deveria afetar o resultado da integral dupla. No entanto, na questão, quando trocamos a ordem de integração, o resultado mudou de 12 para -12 , o que parece uma contradição.
Passo 8
Essa aparente contradição ocorre porque a função x - y(x + y)^2 não é absolutamente integrável em toda a região quando consideramos as áreas onde o denominador fica muito pequeno, perto de x + y = 0 . Portanto, o Teorema de Fubini não se aplica neste caso específico, pois a condição de integrabilidade absoluta não é plenamente atendida.
Resposta
Não, os resultados distintos das integrais duplas não contradizem o Teorema de Fubini, pois a função não é absolutamente integrável na região considerada, fazendo com que o teorema não se aplique neste caso.