Calcule \int_{0}^{24} x e^{x} d x.
a) 23 e^{24}+1
b) 23 e^{24}
c) 24 e^{24}
d) 24 e^{24}-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{24} x e^{x}\,dx
usando o método de integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\quad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = dx,\quad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Pela fórmula de integração por partes,
\int x e^{x}\,dx = u\,v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.

Passo 3

Calculando a integral restante, obtemos
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x - 1) + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 24:
\int_{0}^{24} x e^{x}\,dx = \Bigl[e^{x}(x - 1)\Bigr]_{0}^{24} = e^{24}(24 - 1) - e^{0}(0 - 1) = 23\,e^{24} + 1.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o resultado corresponde à letra (a).

Resposta

(a) 23\,e^{24} + 1

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