Calcule \int\left(3 x^{2}+20 x+8\right) \operatorname{sen}\left(x^{3}+10 x^{2}+8 x+8\right) d x.
a) \operatorname{sen}\left(x^{3}+10 x^{2}+8 x+8\right)
b) -\operatorname{sen}\left(x^{3}+10 x^{2}+8 x+8\right)
c) -\cos \left(x^{3}+10 x^{2}+8 x+8\right)
d) \cos \left(x^{3}+10 x^{2}+8 x+8\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(3x^{2}+20x+8\bigr)\,\operatorname{sen}\bigl(x^{3}+10x^{2}+8x+8\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é o método de substituição, pois vemos que a derivada de x^{3}+10x^{2}+8x+8 é exatamente 3x^{2}+20x+8.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3}+10x^{2}+8x+8.
Então
du = (3x^{2}+20x+8)\,dx.
Com isso, a integral original em x fica em u:
\int\bigl(3x^{2}+20x+8\bigr)\,\operatorname{sen}\bigl(x^{3}+10x^{2}+8x+8\bigr)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos
-\cos(u) + C = -\cos\bigl(x^{3}+10x^{2}+8x+8\bigr) + C.
Comparando com as opções, corresponde à alternativa (c).

Resposta

-\cos\bigl(x^{3}+10x^{2}+8x+8\bigr) (alternativa c)

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