Derive a função F(x)=\int_{0}^{\operatorname{sen}(9 x)} e^{t^{2}} d t.
a) 9 \cos (9 x) e^{\operatorname{sen}^{2}(9 x)}
b) e^{\operatorname{sen}^{2}(9 x)}
c) 2 x e^{\cos ^{2}(9 x)}
d) \cos (9 x) e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{0}^{\sin(9x)}e^{t^{2}}\,dt
e pede F'(x). O que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo para limites dependentes de x junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(x)=\int_{0}^{g(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Aqui f(t)=e^{t^{2}} e g(x)=\sin(9x).

Passo 3

Calculamos g'(x). Como g(x)=\sin(9x), pela regra da cadeia:
g'(x)=\frac{d}{dx}\sin(9x)=9\cos(9x).

Passo 4

Substituindo em G'(x):
F'(x)=e^{\bigl(\sin(9x)\bigr)^{2}}\times 9\cos(9x) =9\cos(9x)\,e^{\sin^{2}(9x)}.

Resposta

a) 9\cos(9x)e^{\operatorname{sen}^{2}(9x)}

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