Calcule \int \cos ^{2}(6 x) d x.
a) \frac{x}{2}+\frac{\operatorname{sen}(12 x)}{12}+C
b) \frac{x}{2}+\frac{\operatorname{sen}(12 x)}{24}+C
c) \frac{x}{2}+\frac{\cos (12 x)}{24}+C
d) \frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen}(12 x)}{24}+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{2}(6x)\,dx
Isso envolve o conteúdo de identidades trigonométricas (redução de potência) e integrais básicas de cosseno.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência:
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Tomando \theta = 6x, fica
\cos^{2}(6x) = \frac{1 + \cos(12x)}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int \cos^{2}(6x)\,dx = \int \frac{1 + \cos(12x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int 1\,dx + \frac{1}{2}\int \cos(12x)\,dx.
Calculando cada termo:
\frac{1}{2}\int 1\,dx = \frac{x}{2}, \qquad \frac{1}{2}\int \cos(12x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{\operatorname{sen}(12x)}{12} = \frac{\operatorname{sen}(12x)}{24}.
Logo,
\int \cos^{2}(6x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{sen}(12x)}{24} + C.

Resposta

b) \displaystyle \frac{x}{2}+\frac{\operatorname{sen}(12 x)}{24}+C

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