Calcule
, onde
é a parte da curva
) orientada de ( 0,0 ) para
).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a parte da curva
orientada de
até
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva satisfaz
. - O ponto final
corresponde ao ramo com (pois é positivo). - A orientação vai de
para , portanto usaremos o ramo positivo . - A integral é do tipo “campo escalar sobre curva” com elemento de comprimento arc‑length
.
Passo 2
Lembrete da fórmula que vamos usar (aulas rápidas): se uma curva
é parametrizada por
então a integral de uma função escalar
sobre a curva em relação ao comprimento de arco é
Aqui
e
são as derivadas em relação a
, e a raiz é justamente o comprimento infinitesimal da curva (o tal
). Ou seja: primeiro parametriza, depois avalia
na parametrização e multiplica pelo comprimento infinitesimal.
Passo 3
Escolher uma parametrização apropriada. Como
e queremos o ramo com
, uma parametrização simples é tomar
como quadrado de um parâmetro
(isso facilita a raiz
):
Então
Escolhemos
porque quando
obtemos
e quando
obtemos
. Assim a parametrização é
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias:
Passo 5
Calcular o elemento de comprimento
:
aqui utilizamos que
em
, então
.
Passo 6
Substituir tudo na integral. A função
. Na parametrização:
Multiplicando por
obtemos o integrando em
:
Reagrupando fatores:
e os coeficientes dão
. O fator em
é
. Portanto o integrando simplifica para
Passo 7
Calcular a integral definida no intervalo
:
Calculemos as primitivas:
Portanto
Juntando as frações dentro do parêntese com denominador comum
:
Multiplicando: