Calcule \int_{\alpha} \sqrt{x+1} y^{2} d S, onde \alpha é a parte da curva \(9 y^{2}=4 x^{3}) orientada de ( 0,0 ) para \((1,2 / 3)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\alpha} \sqrt{x+1}\,y^{2}\,dS,
onde \alpha é a parte da curva \;9y^{2}=4x^{3}\; orientada de (0,0) até \left(1,\tfrac{2}{3}\right). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva satisfaz \;9y^{2}=4x^{3}\; \Rightarrow y^{2}=\dfrac{4}{9}x^{3}.
  • O ponto final \left(1,\tfrac{2}{3}\right) corresponde ao ramo com y\ge 0 (pois y=\tfrac{2}{3} é positivo).
  • A orientação vai de (0,0) para \left(1,\tfrac{2}{3}\right), portanto usaremos o ramo positivo y=\dfrac{2}{3}x^{3/2}.
  • A integral é do tipo “campo escalar sobre curva” com elemento de comprimento arc‑length dS.

Passo 2

Lembrete da fórmula que vamos usar (aulas rápidas): se uma curva \alpha é parametrizada por
x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad t\in[a,b],
então a integral de uma função escalar f(x,y) sobre a curva em relação ao comprimento de arco é
\int_{\alpha} f(x,y)\,dS=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\,dt.
Aqui x'(t) e y'(t) são as derivadas em relação a t, e a raiz é justamente o comprimento infinitesimal da curva (o tal dS). Ou seja: primeiro parametriza, depois avalia f na parametrização e multiplica pelo comprimento infinitesimal.

Passo 3

Escolher uma parametrização apropriada. Como y^{2}=\dfrac{4}{9}x^{3} e queremos o ramo com y\ge 0, uma parametrização simples é tomar x como quadrado de um parâmetro t (isso facilita a raiz x^{3/2}):
x=t^{2}.
Então
y=\dfrac{2}{3}x^{3/2}=\dfrac{2}{3}(t^{2})^{3/2}=\dfrac{2}{3}t^{3}.
Escolhemos t\in[0,1] porque quando t=0 obtemos (x,y)=(0,0) e quando t=1 obtemos (x,y)=\left(1,\tfrac{2}{3}\right). Assim a parametrização é
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=\dfrac{2}{3}t^{3},\qquad t\in[0,1].

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias:
x'(t)=\dfrac{d}{dt}t^{2}=2t, \qquad y'(t)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{2}{3}t^{3}\right)=\dfrac{2}{3}\cdot 3 t^{2}=2t^{2}.

Passo 5

Calcular o elemento de comprimento dS:
\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}} =\sqrt{(2t)^{2}+(2t^{2})^{2}} =\sqrt{4t^{2}+4t^{4}} =2t\sqrt{1+t^{2}},
aqui utilizamos que t\ge 0 em [0,1], então |t|=t.

Passo 6

Substituir tudo na integral. A função f(x,y)=\sqrt{x+1}\,y^{2}. Na parametrização:
\sqrt{x+1}=\sqrt{t^{2}+1}=\sqrt{1+t^{2}}, \qquad y^{2}=\left(\dfrac{2}{3}t^{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}t^{6}.
Multiplicando por dS=2t\sqrt{1+t^{2}}\,dt obtemos o integrando em t:
\sqrt{x+1}\,y^{2}\,dS =\big(\sqrt{1+t^{2}}\big)\cdot\left(\dfrac{4}{9}t^{6}\right)\cdot\big(2t\sqrt{1+t^{2}}\big)\,dt.
Reagrupando fatores:
\big(\sqrt{1+t^{2}}\big)\big(\sqrt{1+t^{2}}\big)=(1+t^{2}),
e os coeficientes dão \dfrac{4}{9}\cdot 2=\dfrac{8}{9}. O fator em t é t^{6}\cdot t=t^{7}. Portanto o integrando simplifica para
\dfrac{8}{9}t^{7}(1+t^{2})\,dt.

Passo 7

Calcular a integral definida no intervalo t\in[0,1]:
\int_{\alpha}\sqrt{x+1}\,y^{2}\,dS =\int_{0}^{1}\dfrac{8}{9}t^{7}(1+t^{2})\,dt =\dfrac{8}{9}\int_{0}^{1}\big(t^{7}+t^{9}\big)\,dt.
Calculemos as primitivas:
\int t^{7}\,dt=\dfrac{t^{8}}{8},\qquad \int t^{9}\,dt=\dfrac{t^{10}}{10}.
Portanto
\dfrac{8}{9}\left[\dfrac{t^{8}}{8}+\dfrac{t^{10}}{10}\right]_{0}^{1} =\dfrac{8}{9}\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10}\right).
Juntando as frações dentro do parêntese com denominador comum 40:
\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{5}{40}+\dfrac{4}{40}=\dfrac{9}{40}.
Multiplicando:
\dfrac{8}{9}\cdot \dfrac{9}{40}=\dfrac{8}{40}=\dfrac{1}{5}.

Resposta

\dfrac{1}{5}

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