Calcule \int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \alpha onde \vec{F}(x, y)=\left(6 x^{5} y^{4}-5 y, 4 x^{6} y^{3}-y^{2}\right) e \alpha é a circunferência x^{2}+y^{2}=6 x orientada no sentido antihorario.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int_{\alpha}\vec F\cdot d\alpha
onde
\vec F(x,y)=\bigl(6x^{5}y^{4}-5y,\;4x^{6}y^{3}-y^{2}\bigr)
e \alpha é a circunferência x^{2}+y^{2}=6x orientada no sentido anti-horário.
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Green para campos não conservativos.

Passo 2

Primeiro verificamos se \vec F é conservativo, calculando as derivadas parciais:
P(x,y)=6x^{5}y^{4}-5y,\quad Q(x,y)=4x^{6}y^{3}-y^{2}.
Calculemos
\frac{\partial P}{\partial y} =6x^{5}\cdot4y^{3}-5 =24x^{5}y^{3}-5,
\frac{\partial Q}{\partial x} =4\cdot6x^{5}y^{3} =24x^{5}y^{3}.
Como \partial Q/\partial x\neq\partial P/\partial y, ou seja falta o “ -5”, o campo não é conservativo e usamos Green.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para uma curva fechada \alpha positivamente orientada e a região D por ela delimitada, vale
\int_{\alpha}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 4

No nosso caso
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =24x^{5}y^{3}-\bigl(24x^{5}y^{3}-5\bigr) =5.
Logo
\int_{\alpha}\vec F\cdot d\alpha =\iint_{D}5\,dA =5\iint_{D}dA =5\,\text{(área de \(D\))}.á

Passo 5

A curva é dada por
x^{2}+y^{2}=6x \quad\Longleftrightarrow\quad (x-3)^{2}+y^{2}=3^{2},
ou seja, D é o disco de raio 3. A área de D é
\text{Área}(D)=\pi\cdot3^{2}=9\pi.Á

Passo 6

Substituindo na integral:
\int_{\alpha}\vec F\cdot d\alpha =5\times 9\pi =45\pi.

Resposta

\displaystyle 45\pi

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