∑ \frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3} CONVERGE?

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+3}
converge ou diverge. Vamos usar o critério do termo geral, que diz que, se a série converge, então o termo geral deve tender a zero.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+3}.
Para aplicar o critério do termo geral, calculamos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+3}.
Como, para grandes n, o n^{2} domina, temos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}\bigl(1+\tfrac1{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(2+\tfrac3{n^{2}}\bigr)} = \frac{1}{2}.

Passo 3

O critério do termo geral afirma que, se uma série \sum a_{n} converge, então
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0.
Aqui encontramos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \tfrac{1}{2} \neq 0,
logo a condição necessária para convergência não é satisfeita.

Resposta

A série diverge.

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