Calcule a integral \iint_{\sigma} f(x, y, z) d S, onde f(x, y, z)=\frac{x}{\sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}}} e \sigma é a superficie z=1-x^{2}-y^{2}, com 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{\sigma}f(x,y,z)\,dS
onde f(x,y,z)=\frac{x}{\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}} e \sigma é o grafo da função
z = 1 - x^{2} - y^{2}
sobre a região
R = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x^{2}\}.
O conteúdo aqui é integral de superfície de um gráfico z=g(x,y), usando a fórmula
dS = \sqrt{1+(g_x)^2+(g_y)^2}\,dx\,dy.

Passo 2

Para g(x,y)=1 - x^2 - y^2 calculamos as derivadas parciais:
g_x = -2x, \quad g_y = -2y.
Logo o elemento de área da superfície é
dS = \sqrt{1+(-2x)^2+(-2y)^2}\,dx\,dy = \sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy.

Passo 3

Substituindo em \iint_{\sigma}f\,dS obtemos
\iint_{\sigma}f\,dS = \iint_{R} \frac{x}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}} \;\sqrt{1+4x^2+4y^2}\;dx\,dy = \iint_{R} x\,dx\,dy.

Passo 4

Agora basta calcular
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^2}x\,dy\,dx = \int_{0}^{1}x\bigl[y\bigr]_{0}^{x^2}dx = \int_{0}^{1}x\cdot x^2\,dx = \int_{0}^{1}x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.

Resposta

\frac{1}{4}

Exercícios relacionados