Considere a superficie
.
a) Calcule o vetor normal unitario à superficie em um ponto qualquer.
b) Calcule a área da Superficie.
0.7
a) Calcule o vetor normal unitario à superficie em um ponto qualquer.
b) Calcule a área da Superficie.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a superfície dada pelo gráfico da função
no domínio planar
.
Para achar o vetor normal unitário, usamos a fórmula para gráficos de funções de duas variáveis:
Para achar o vetor normal unitário, usamos a fórmula para gráficos de funções de duas variáveis:
Para calcular a área da superfície, aplicamos a fórmula
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de
:
O vetor normal não unitário é
Logo, escolhendo a orientação com componente
positiva, o vetor normal unitário é
Passo 3
Para a área da superfície usamos
Em coordenadas polares
,
vira
,
e
. Assim
Passo 4
Para a integral em
, faça a troca de variável
Quando
temos
e quando
temos
. Então
Multiplicando por
, obtemos
Resposta
a)
.
b)
b)