Considere a superficie z=x^{2}+y^{2}, \operatorname{com} x^{2}+y^{2} \leq 4.
a) Calcule o vetor normal unitario à superficie em um ponto qualquer.
b) Calcule a área da Superficie. \qquad 0.7

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a superfície dada pelo gráfico da função
z = f(x,y) = x^2 + y^2
no domínio planar D\colon x^2 + y^2 \le 4.
Para achar o vetor normal unitário, usamos a fórmula para gráficos de funções de duas variáveis:
\mathbf n = \frac{(-f_x,\,-f_y,\,1)}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}.
Para calcular a área da superfície, aplicamos a fórmula
A = \iint_{D} \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
f_x = 2x, \quad f_y = 2y.
O vetor normal não unitário é
(-f_x,\,-f_y,\,1) = (-2x,\,-2y,\,1).
Logo, escolhendo a orientação com componente z positiva, o vetor normal unitário é
\mathbf n = \frac{(-2x,\,-2y,\,1)}{\sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2}} = \frac{(-2x,\,-2y,\,1)}{\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}}.

Passo 3

Para a área da superfície usamos
A = \iint_{D} \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\,dA.
Em coordenadas polares (x,y) = (r\cos\theta,\,r\sin\theta), D vira 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi e dA = r\,dr\,d\theta. Assim
A = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4r^2}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Para a integral em r, faça a troca de variável
u = 1 + 4r^2 \quad\Longrightarrow\quad du = 8r\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr = \frac{du}{8}.
Quando r=0 temos u=1 e quando r=2 temos u=17. Então
\int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4r^2}\;r\,dr = \frac{1}{8}\int_{1}^{17} \sqrt{u}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{17} = \frac{1}{12}\bigl(17^{3/2} - 1\bigr).
Multiplicando por \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, obtemos
A = 2\pi \cdot \frac{1}{12}\bigl(17^{3/2} - 1\bigr) = \frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2} - 1\bigr).

Resposta

a) \displaystyle \mathbf n(x,y) = \frac{(-2x,\,-2y,\,1)}{\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}}.
b) \displaystyle A = \frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2} - 1\bigr).

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