a) Calcule
onde
e
é a circunferência
orientada no sentido antihorario. 0.6
b) Parametrize a superficie dada pelo conjunto obtido pela rotação em torno ao eixo
da curva
e
.
b) Parametrize a superficie dada pelo conjunto obtido pela rotação em torno ao eixo
Passo 1
O enunciado pede em (a) calcular a integral de linha
onde e
é a circunferência
orientada no sentido anti-horário, e em (b) parametrizar a superfície obtida pela rotação em torno do eixo
da curva
.
Para (a) vamos usar o Teorema de Green, e para (b) a construção clássica de superfícies de revolução.
onde
Para (a) vamos usar o Teorema de Green, e para (b) a construção clássica de superfícies de revolução.
Passo 2
Como
é um contorno fechado simples positivamente orientado, pelo Teorema de Green temos
onde
é o disco cujo contorno é
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
A região
é o disco definido por
portanto
tem raio
e área
. Assim
Passo 5
Para parametrizar a superfície de revolução gerada pela curva
com
em torno do eixo
, tomamos parâmetros
e o ângulo
. A parametrização é
Resposta
(a)
(b) Uma parametrização da superfície é
(b) Uma parametrização da superfície é