a) Calcule
\int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \alpha onde \vec{F}(x, y)=\left(6 x^{5} y^{4}-5 y, 4 x^{6} y^{3}-y^{2}\right) e \alpha é a circunferência x^{2}+y^{2}=6 x orientada no sentido antihorario. 0.6
b) Parametrize a superficie dada pelo conjunto obtido pela rotação em torno ao eixo z da curva y=0 e z=\frac{1}{x}, x>0.

Passo 1

O enunciado pede em (a) calcular a integral de linha
\displaystyle \int_{\alpha}\vec F\cdot d\alpha
onde \vec F(x,y) = (P,Q) = (6x^{5}y^{4}-5y,\;4x^{6}y^{3}-y^{2}) e \alpha é a circunferência x^{2}+y^{2}=6x orientada no sentido anti-horário, e em (b) parametrizar a superfície obtida pela rotação em torno do eixo z da curva y=0,\;z=1/x,\;x>0.
Para (a) vamos usar o Teorema de Green, e para (b) a construção clássica de superfícies de revolução.

Passo 2

Como \alpha é um contorno fechado simples positivamente orientado, pelo Teorema de Green temos
\int_{\alpha}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é o disco cujo contorno é \alpha.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{6}y^{3}-y^{2}\bigr) =24x^{5}y^{3},
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6x^{5}y^{4}-5y\bigr) =24x^{5}y^{3}-5.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =24x^{5}y^{3} - \bigl(24x^{5}y^{3}-5\bigr) =5.

Passo 4

A região D é o disco definido por
x^{2}+y^{2}=6x \;\Longleftrightarrow\; (x-3)^{2}+y^{2}=3^{2},
portanto D tem raio 3 e área \pi\cdot3^{2}=9\pi. Assim
\int_{\alpha}\vec F\cdot d\alpha =\iint_{D}5\,dA =5\cdot(\text{área de }D) =5\cdot9\pi =45\pi.á

Passo 5

Para parametrizar a superfície de revolução gerada pela curva y=0,\;z=1/x com x>0 em torno do eixo z, tomamos parâmetros u=x>0 e o ângulo v\in[0,2\pi]. A parametrização é
\vec r(u,v) =\bigl(u\cos v,\;u\sin v,\;1/u\bigr), \quad u>0,\;0\le v\le2\pi.

Resposta

(a) \displaystyle 45\pi.
(b) Uma parametrização da superfície é
\vec r(u,v)=\bigl(u\cos v,\;u\sin v,\;1/u\bigr), \quad u>0,\;0\le v\le2\pi.

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