Encontre o raio e intervalo de convergência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2 x-3)^{2 k+1}}{k!}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2x-3)^{2k+1}}{k!}.
O conteúdo principal aqui é teste da razão para séries de potências, e vamos usar o teste da razão de d’Alembert aplicado ao termo geral
a_{k} = \frac{(2x-3)^{2k+1}}{k!}.

Passo 2

Escrevemos o termo seguinte:
a_{k+1} = \frac{(2x-3)^{2(k+1)+1}}{(k+1)!} = \frac{(2x-3)^{2k+3}}{(k+1)!}.
Para aplicar o teste da razão, consideramos
\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| = \left|\frac{(2x-3)^{2k+3}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{(2x-3)^{2k+1}}\right| = \left|\frac{(2x-3)^{2}}{k+1}\right|.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{(2x-3)^{2}}{k+1}\right| = 0.
Como L=0<1 para todo x, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 4

Pelo teste da razão, quando L<1 para todo x, o raio de convergência é infinito:
R = \infty.
Isto significa que o intervalo de convergência é toda a reta real:
(-\infty,\infty).

Resposta

O raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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