Questão 2.(3.2pt) Considere f(t)=-2 \cos ^{2}(t)+\operatorname{sen}(2 t)+\operatorname{sen}(4 t) e sua expansão em Série de Fourier (forma exponencial) f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n} e^{i w_{n} t} em que w_{1} é a frequência fundamental, i^{2}=-1, é correto:
Frequência fundamental
( ) w_{1}=1 / 2
( ) w_{1}=1
( ) w_{1}=2
( ) w_{1}=3
( ) w_{1}=4
( ) nenhuma das anteriores está correta
Fase (argumento) de C_{2}
( ) \phi_{2}=3 \pi / 4
( ) \phi_{2}=\pi / 2
( ) \phi_{2}=\pi / 4
( ) \phi_{2}=-3 \pi / 4
( ) \phi_{2}=-\pi / 2
( ) nenhuma das anteriores está correta
Módulo de C_{2}
( ) \left|C_{2}\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}
( ) \left|C_{2}\right|=1 / 2
( ) \left|C_{2}\right|=1
( ) \left|C_{2}\right|=\sqrt{2}
( ) \left|C_{2}\right|=2
( ) nenhuma das anteriores está correta Potência média \frac{1}{T} \int_{0}^{T}|f(t)|^{2} d t
( ) \bar{P}_{f}=1
( ) \bar{P}_{f}=1 / 2
( ) \bar{P}_{f}=3 / 2
( ) \bar{P}_{f}=5 / 2
( ) \bar{P}_{f}=2
( ) nenhuma das anteriores está correta

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=-2\cos^{2}(t)+\operatorname{sen}(2t)+\operatorname{sen}(4t)
e pede: frequência fundamental \omega_{1}, fase \phi_{2}=\arg(C_{2}), módulo \lvert C_{2}\rvert e potência média \bar P_{f}=\frac1T\int_{0}^{T}|f(t)|^{2}dt, sabendo que
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{i\,\omega_{n}t}
com \omega_{n}=n\,\omega_{1}.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica \cos^{2}(t)=\tfrac{1+\cos(2t)}{2}. Então
-2\cos^{2}(t)=-2\cdot\frac{1+\cos(2t)}{2}=-1-\cos(2t),
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f(t)=-1\; -\cos(2t)+\sin(2t)+\sin(4t).
As componentes são: uma parte DC ( -1), termos em 2t e em 4t. Como as frequências são 0, 2 e 4 (rad/s), o menor passo entre elas é \omega_{1}=2,rad/s.

Passo 3

Expressamos \operatorname{sen}(4t) em termos exponenciais:
\operatorname{sen}(4t)=\frac{e^{i4t}-e^{-i4t}}{2i},
portanto o coeficiente de e^{i\,2\,\omega_{1}t}=e^{i4t} é
C_{2}=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}.
Dessa forma
\phi_{2}=\arg\Bigl(-\tfrac{i}{2}\Bigr)=-\frac{\pi}{2}, \qquad \lvert C_{2}\rvert=\Bigl\lvert -\tfrac{i}{2}\Bigr\rvert=\tfrac12.

Passo 4

Pela relação de Parseval para série exponencial, a potência média é
\bar P_{f}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lvert C_{n}\rvert^{2}.
Os coeficientes não nulos são
C_{0}=-1,\quad C_{\pm1}=\text{(de \(-\cos2t+\sen2t\))}=\frac{-1\mp i}{2},\quad C_{\pm2}=\pm\frac{i}{2}.
Calculando
\lvert C_{0}\rvert^{2}=1,\quad \lvert C_{\pm1}\rvert^{2}=\frac{1+1}{4}=\frac12\\ (\text{cada}),\quad \lvert C_{\pm2}\rvert^{2}=\frac{1}{4}\\ (\text{cada}).
Somando:
\bar P_{f} =1+2\cdot\frac12+2\cdot\frac14 =1+1+\tfrac12 =\frac{5}{2}.

Resposta

Frequência fundamental: \omega_{1}=2
Fase de C_{2}: \phi_{2}=-\tfrac{\pi}{2}
Módulo de C_{2}: \lvert C_{2}\rvert=\tfrac{1}{2}
Potência média: \bar P_{f}=\tfrac{5}{2}

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