Encontre o raio e intervalo de convergência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} k!(x-4)^{k}}{2^{k}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo (ou conjunto) de convergência da série de potências
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\,k!\,(x-4)^{k}}{2^{k}}.
O conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão para séries de potências.

Passo 2

Definimos a_{k}=\frac{(-1)^{k}\,k!}{2^{k}}. Aplicamos o teste da razão ao termo geral a_{k}(x-4)^{k}:
L \;=\;\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}(x-4)^{k+1}}{a_{k}(x-4)^{k}}\right|.
Substituindo a_{k} e a_{k+1} temos
\left|\frac{(-1)^{k+1}(k+1)!\,(x-4)^{k+1}/2^{\,k+1}}{(-1)^{k}k!\,(x-4)^{k}/2^{\,k}}\right| =\frac{k+1}{2}\,\bigl|x-4\bigr|.

Passo 3

Agora analisamos o limite
L=\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{2}\,\bigl|x-4\bigr|.
Para qualquer \bigl|x-4\bigr|>0, o fator (k+1)/2 tende a infinito, logo L=\infty>1 e a série diverge.
Se \bigl|x-4\bigr|=0, ou seja x=4, todo termo é zero e a série converge trivialmente.

Passo 4

Do teste da razão concluímos que a única forma de L<1 é \bigl|x-4\bigr|=0. Portanto o raio de convergência é
R=0,
e o intervalo (conjunto) de convergência reduz-se ao único ponto
\{4\}.

Resposta

O raio de convergência é R=0 e a série converge somente em x=4.

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