Calcule \int_{C} F \cdot d r sem usar o teorema de Green.
F(x, y, z)=\left(z, y x,-y^{2}\right) ; C: r(t)=\left(t^{2}, t, \sqrt{t}\right), t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}F\cdot d r
onde F(x,y,z)=(z,\;y x,\;-y^{2}) e a curva C é dada pela parametrização
r(t)=(t^{2},\,t,\,\sqrt{t}),\quad t\in[0,1].
Vamos usar a definição de integral de linha para campos vetoriais:
\int_{C}F\cdot d r \;=\;\int_{0}^{1}F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
r(t)=(t^{2},\,t,\,t^{1/2}) \quad\Longrightarrow\quad r'(t)=(2t,\;1,\;\tfrac{1}{2}t^{-1/2}).

Passo 3

Avaliamo F ao longo da curva:
F\bigl(r(t)\bigr) =\bigl(z,\;y x,\;-y^{2}\bigr) =\bigl(t^{1/2},\;t\cdot t^{2},\;-t^{2}\bigr) =\bigl(t^{1/2},\,t^{3},\,-t^{2}\bigr).
Agora o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t) é
t^{1/2}\cdot(2t)\;+\;t^{3}\cdot1\;+\;(-t^{2})\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}t^{-1/2}\bigr).

Passo 4

Simplificamos termo a termo:
t^{1/2}\cdot2t=2\,t^{3/2}, \quad (-t^{2})\cdot\tfrac{1}{2}t^{-1/2} =-\tfrac{1}{2}\,t^{3/2}.
Logo o integrando fica
2\,t^{3/2} + t^{3} - \tfrac{1}{2}\,t^{3/2} =\tfrac{3}{2}\,t^{3/2} + t^{3}.

Passo 5

Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{3}{2}\,t^{3/2}+t^{3}\Bigr)dt =\tfrac{3}{2}\int_{0}^{1}t^{3/2}dt+\int_{0}^{1}t^{3}dt.
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1}t^{3/2}dt =\left[\frac{t^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1} =\frac{2}{5}, \quad \int_{0}^{1}t^{3}dt =\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4}.
Portanto
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{3}{2}t^{3/2}+t^{3}\Bigr)dt =\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{4} =\tfrac{3}{5}+\tfrac{1}{4} =\tfrac{12}{20}+\tfrac{5}{20} =\tfrac{17}{20}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{20}

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