Calcule \int_{C} F \cdot d r sem usar o teorema de Green.
F(x, y, z)=(x, y, z) ; C: r(t)=\left(\cos (\pi t), t^{2}, \sin (\pi t)\right), t \in[0,1].

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial \r \displaystyle F(x,y,z) = (x,y,z) \r
ao longo da curva C dada por \r \displaystyle r(t) = \bigl(\cos(\pi t),\,t^2,\,\sin(\pi t)\bigr), t\in[0,1], \r
sem recorrer ao Teorema de Green. Para isso, vamos usar diretamente a definição \r
\int_{C}F\cdot dr \;=\;\int_{0}^{1}F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:\r
\;r'(t) = \bigl(-\pi\sin(\pi t),\;2t,\;\pi\cos(\pi t)\bigr).

Passo 3

Substituímos r(t) em F:\r
\;F\bigl(r(t)\bigr) = \bigl(\cos(\pi t),\;t^2,\;\sin(\pi t)\bigr).

Passo 4

Formamos o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t):\r
\begin{align*}\r F(r(t))\cdot r'(t)\r &= \cos(\pi t)\bigl(-\pi\sin(\pi t)\bigr)\r + \(t^2\)\,(2t)\r + \sin(\pi t)\,\bigl(\pi\cos(\pi t)\bigr)\\[6pt]\r &= -\pi\cos(\pi t)\sin(\pi t) + 2t^3 + \pi\sin(\pi t)\cos(\pi t)\\[3pt]\r &= 2t^3\r \quad\text{(os termos com \(\pi\cos\sin\) se cancelam).}\r \end{align*}]

Passo 5

Agora é só integrar de 0 a 1:\r
\int_{C}F\cdot dr\r = \int_{0}^{1} 2t^3\,dt\r = 2\cdot\frac{t^4}{4}\Big|_{0}^{1}\r = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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