Calcule \int_{C} f d s para as funções e curvas indicadas abaixo:
f(x, y)=y x^{5}, onde C é a porção da circunferência x^{2}+y^{2}=4 situada no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C}f\,ds
para f(x,y)=yx^{5} ao longo da porção de circunferência x^{2}+y^{2}=4 no primeiro quadrante.
O conteúdo aqui é parametrização de curva e integral de função escalar em termos de comprimento de arco.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,
com t variando de 0 até \tfrac{\pi}{2}.
Então
x'(t)=-2\sin t,\quad y'(t)=2\cos t
e
ds=\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}\,dt =\sqrt{4\sin^{2}t+4\cos^{2}t}\,dt =2\,dt.

Passo 3

Substituímos na integral:
f(x(t),y(t))=y(t)\bigl[x(t)\bigr]^{5} =(2\sin t)\,(2\cos t)^{5} =64\,\sin t\,\cos^{5}t.
Logo
f\,ds =64\,\sin t\,\cos^{5}t\;\cdot2\,dt =128\,\sin t\,\cos^{5}t\,dt.
Assim
\int_{C}f\,ds =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 128\,\sin t\,\cos^{5}t\,dt.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 128\,\sin t\,\cos^{5}t\,dt
fazemos u=\cos t, du=-\sin t\,dt. Quando t=0, u=1; quando t=\tfrac{\pi}{2}, u=0.
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 128\,\sin t\,\cos^{5}t\,dt =128\int_{1}^{0}u^{5}(-du) =128\int_{0}^{1}u^{5}du =128\left[\frac{u^{6}}{6}\right]_{0}^{1} =\frac{128}{6} =\frac{64}{3}.

Resposta

\frac{64}{3}

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