Considere a curva C parametrizada por
\vec{r}(t)=\left(t^{2} \cos t, t^{2} \sin t, 2 t\right) \operatorname{com} t \in[0, \pi] .
a) Mostre que esta curva está sobre a superfície 16 x^{2}+16 y^{2}=z^{4}.
b) Calcule o comprimento desta curva.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C parametrizada por
\vec r(t)=\bigl(t^{2}\cos t,\;t^{2}\sin t,\;2t\bigr), \quad t\in[0,\pi],
e pede duas coisas:
a) mostrar que ela está sobre a superfície \,16x^{2}+16y^{2}=z^{4}, e
b) calcular o comprimento de C.
Para (a) vamos simplesmente substituir as coordenadas parametrizadas na equação da superfície. Para (b) vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas paramétricas:
L=\int_{0}^{\pi}\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Substituímos
x=t^{2}\cos t,\quad y=t^{2}\sin t,\quad z=2t
em 16x^{2}+16y^{2}:
16x^{2}+16y^{2} =16\bigl(t^{2}\cos t\bigr)^{2}+16\bigl(t^{2}\sin t\bigr)^{2} =16t^{4}\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr) =16t^{4}.
Por outro lado,
z^{4}=(2t)^{4}=16t^{4}.
Como 16x^{2}+16y^{2}=16t^{4}=z^{4}, a curva realmente satisfaz a equação da superfície.

Passo 3

Para calcular o comprimento, escrevemos
\vec r\,'(t) =\bigl(2t\cos t - t^{2}\sin t,\;2t\sin t + t^{2}\cos t,\;2\bigr).
Então
L=\int_{0}^{\pi}\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 4

Calculamos a norma ao quadrado:
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|^{2} =(2t\cos t - t^{2}\sin t)^{2} +(2t\sin t + t^{2}\cos t)^{2} +2^{2}.
Expandindo e somando os dois primeiros termos obtém-se
4t^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t) +t^{4}(\sin^{2}t+\cos^{2}t) +0 =4t^{2}+t^{4},
pois os termos de cruzamento se anulam. Logo
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|^{2} =t^{4}+4t^{2}+4 =(t^{2}+2)^{2},
e portanto
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|=t^{2}+2 \quad(\text{positivo em }[0,\pi]).

Passo 5

Substituindo na integral:
L=\int_{0}^{\pi}(t^{2}+2)\,dt =\left[\frac{t^{3}}{3}+2t\right]_{0}^{\pi} =\frac{\pi^{3}}{3}+2\pi.

Resposta

(a) Substituindo \,x=t^{2}\cos t,\;y=t^{2}\sin t,\;z=2t em 16x^{2}+16y^{2}=z^{4} obtemos 16t^{4}=16t^{4}, logo a curva está sobre a superfície.
(b) O comprimento é
L=\frac{\pi^{3}}{3}+2\pi.

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