Calcule \int_{C} f d s para as funções e curvas indicadas abaixo:
f(x, y)=\frac{x}{y}. C: \vec{r}(t)=\left(t^{3}, t^{4}\right), t \in[1,2].

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=\frac{x}{y} ao longo da curva C definida por
\vec{r}(t) = \bigl(t^3,\;t^4\bigr),\quad t\in[1,2],
considerando o elemento de comprimento de arco ds. O conteúdo usado é a fórmula
\int_{C}f\,ds \;=\;\int_{a}^{b}f\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\,\bigl\|\vec{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização e seu módulo:
\vec{r}'(t) = \bigl(3t^2,\;4t^3\bigr),
\bigl\|\vec{r}'(t)\bigr\| = \sqrt{(3t^2)^2 + (4t^3)^2} = \sqrt{9t^4 + 16t^6} = t^2\sqrt{9 + 16t^2}.

Passo 3

Substituímos f na curva:
f\bigl(\vec{r}(t)\bigr) = \frac{x}{y} = \frac{t^3}{t^4} = \frac1t.

Passo 4

Montamos a integral:
\int_{C}f\,ds = \int_{1}^{2} \frac1t \;\bigl\|\vec{r}'(t)\bigr\|\,dt = \int_{1}^{2} \frac1t \;t^2\sqrt{9+16t^2}\,dt = \int_{1}^{2} t\sqrt{9+16t^2}\,dt.

Passo 5

Fazemos a substituição u=9+16t^2, du=32t\,dt. Quando t=1, u=25; quando t=2, u=73. Assim,
\int_{1}^{2} t\sqrt{9+16t^2}\,dt = \int_{25}^{73} \sqrt{u}\,\frac{du}{32} = \frac{1}{32}\int_{25}^{73} u^{\frac12}\,du = \frac{1}{32}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{\frac{3}{2}}\bigr]_{25}^{73} = \frac{1}{48}\Bigl(73^{\frac32}-25^{\frac32}\Bigr).

Resposta

\int_{C}f\,ds = \frac{73^{\tfrac32} - 125}{48}.

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