Calcule
, onde
e
são especificados em cada item:
e
é o segmento de reta que liga 0 a
.
Passo 1
O que o problema dá e o que pede.
- A função é dada por
. - A curva
é o segmento de reta que liga a . - O pedido: calcular a integral de linha complexa
.
Passo 2
Como vamos proceder — ideia e definição útil (explicada devagar).
- Para integrar uma função complexa
sobre uma curva suave paramétrica , com variando em um intervalo , usa-se a definição
- Aqui a curva é um segmento de reta: é natural parametrizá‑la por um parâmetro
que vai de a . Em seguida substituímos e em pelas suas expressões em função de , calculamos e resolvemos a integral real resultante (separando partes real e imaginária, se for conveniente).
Passo 3
Parametrização do segmento de reta de
a
.
- Uma parametrização linear é
- Isso porque para
temos e para temos .
Passo 4
Expressar
,
e
.
- Escrevendo
obtemos
- Derivando,
, logo
Passo 5
Substituir
e
em
.
- A função é
. Substituindo e ,
Passo 6
Formar o integrando
e simplificar.
- Multiplicando:
- Expandindo passo a passo:
- Calcular cada parte:
- Somando as partes:
Passo 7
Integrar de
a
, separando parte real e imaginária.
- A integral fica
- Separando:
- Calcular cada integral:
Passo 8
Juntar e escrever o resultado final.
- Portanto