Calcule \int_{C} f(z) d z, onde f e C são especificados em cada item:
f(x+i y)=2 x-y+i x^{2} e C é o segmento de reta que liga 0 a 1+i.

Passo 1

O que o problema dá e o que pede.
  • A função é dada por f(x+i y)=2x-y+i x^{2}.
  • A curva C é o segmento de reta que liga 0 a 1+i.
  • O pedido: calcular a integral de linha complexa \displaystyle \int_{C} f(z)\,dz.

Passo 2

Como vamos proceder — ideia e definição útil (explicada devagar).
  • Para integrar uma função complexa f sobre uma curva suave C paramétrica z(t), com t variando em um intervalo [a,b], usa-se a definição
\int_{C} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt.
  • Aqui a curva é um segmento de reta: é natural parametrizá‑la por um parâmetro t que vai de 0 a 1. Em seguida substituímos x e y em f pelas suas expressões em função de t, calculamos z'(t) e resolvemos a integral real resultante (separando partes real e imaginária, se for conveniente).

Passo 3

Parametrização do segmento de reta de 0 a 1+i.
  • Uma parametrização linear é
z(t)=(1+i)t,\qquad t\in[0,1].
  • Isso porque para t=0 temos z(0)=0 e para t=1 temos z(1)=1+i.

Passo 4

Expressar x(t), y(t) e dz.
  • Escrevendo z(t)=x(t)+i y(t) obtemos
x(t)=t,\qquad y(t)=t.
  • Derivando, z'(t)=1+i, logo
dz = z'(t)\,dt = (1+i)\,dt.

Passo 5

Substituir x(t) e y(t) em f\big(z(t)\big).
  • A função é f(x+iy)=2x-y+i x^{2}. Substituindo x=t e y=t,
f\big(z(t)\big)=2t-t+i t^{2}=t+i t^{2}.

Passo 6

Formar o integrando f(z(t))\,z'(t) e simplificar.
  • Multiplicando:
f\big(z(t)\big)z'(t)=(t+i t^{2})(1+i).
  • Expandindo passo a passo:
(t+i t^{2})(1+i)=t(1+i)+i t^{2}(1+i).
  • Calcular cada parte:
t(1+i)=t+i t, \qquad i t^{2}(1+i)=i t^{2}+i^{2}t^{2}=i t^{2}-t^{2}.
  • Somando as partes:
(t+i t^{2})(1+i)=(t-t^{2})+i(t+t^{2}).

Passo 7

Integrar de t=0 a t=1, separando parte real e imaginária.
  • A integral fica
\int_{C} f(z)\,dz = \int_{0}^{1}\big[(t-t^{2})+i(t+t^{2})\big]\,dt.
  • Separando:
\int_{0}^{1}(t-t^{2})\,dt + i\int_{0}^{1}(t+t^{2})\,dt.
  • Calcular cada integral:
\int_{0}^{1}(t-t^{2})\,dt=\left[\tfrac{t^{2}}{2}-\tfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6},
\int_{0}^{1}(t+t^{2})\,dt=\left[\tfrac{t^{2}}{2}+\tfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{6}.

Passo 8

Juntar e escrever o resultado final.
  • Portanto
\int_{C} f(z)\,dz=\tfrac{1}{6}+i\cdot\tfrac{5}{6}=\frac{1+5i}{6}.

Resposta

\dfrac{1+5i}{6}

Exercícios relacionados