Identifique e esboce os seguintes arcos.
fixado.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede que se identifique e esboce o arco. Informações relevantes:
- A variável complexa
depende de e de um parâmetro fixo . - O parâmetro
percorre o intervalo . - Precisa-se entender que curva no plano complexo essa expressão descreve e como esboçá-la (centro, raio, pontos notáveis, orientação).
Passo 2
Reescrever a parametrização numa forma mais conhecida. Usando
,
Isto ajuda a ver que a curva é um círculo deslocado do origem.
Passo 3
Passe para coordenadas cartesianas: escrevendo
e igualando partes real e imaginária,
Aqui
e
dependem de
. Estas fórmulas mostram diretamente como os pontos
variam.
Passo 4
Deduzir a equação cartesiana da curva. Eliminando
usando
,
Portanto a curva é a circunferência de raio
e centro em
.
Passo 5
Concluir identificação: a curva é a circunferência centrada em
com raio
. Em notação complexa, é o conjunto
Passo 6
Analisar quais pontos são atingidos em valores especiais de
(útil para esboçar):
Esses quatro pontos (esquerda, baixo, direita, cima) permitem desenhar a circunferência.
Passo 7
Determinar a orientação (sentido de percorre): à medida que
aumenta,
gira no sentido anti-horário (sentido positivo). Assim, para
indo de
até
a circunferência é percorrida uma vez no sentido anti-horário. Observação:
e
correspondem ao mesmo ponto
, portanto a parametrização começa e termina nesse ponto.
Passo 8
Como esboçar passo a passo (receita prática para a prova):
- Marcar o centro
. - A partir do centro, traçar um círculo de raio
. - Marcar os pontos notáveis calculados em
e ligá‑los suavemente para formar a circunferência. - Indicar uma seta ao longo da circunferência no sentido anti-horário para mostrar a orientação. Indicar que o ponto inicial/ final é
.
Passo 9
Exemplo rápido para fixar (pegar
): a curva é o círculo de centro
e raio
. Pontos:
,
,
,
. Desenhar esses pontos e ligar no sentido anti-horário.
Resposta
Circunferência de centro
e raio
, ou seja
.
Parametrização equivalente: ,
.
A curva é percorrida uma vez no sentido anti-horário, começando e terminando em .
Parametrização equivalente:
A curva é percorrida uma vez no sentido anti-horário, começando e terminando em