Identifique e esboce os seguintes arcos.
z=i+r(\cos t+i \operatorname{sen} t),-\pi \leq t \leq \pi, r>0 fixado.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
z=i+r(\cos t+i\sin t),\qquad -\pi\le t\le\pi,\quad r>0
e pede que se identifique e esboce o arco. Informações relevantes:
  • A variável complexa z depende de t e de um parâmetro fixo r>0.
  • O parâmetro t percorre o intervalo [-\pi,\pi].
  • Precisa-se entender que curva no plano complexo essa expressão descreve e como esboçá-la (centro, raio, pontos notáveis, orientação).

Passo 2

Reescrever a parametrização numa forma mais conhecida. Usando e^{it}=\cos t+i\sin t,
z=i+r(\cos t+i\sin t)=i+r e^{it}.
Isto ajuda a ver que a curva é um círculo deslocado do origem.

Passo 3

Passe para coordenadas cartesianas: escrevendo z=x+iy e igualando partes real e imaginária,
x=r\cos t,\qquad y=1+r\sin t.
Aqui x e y dependem de t. Estas fórmulas mostram diretamente como os pontos x,y variam.

Passo 4

Deduzir a equação cartesiana da curva. Eliminando t usando \cos^2t+\sin^2t=1,
x^2+(y-1)^2 = (r\cos t)^2 + (r\sin t)^2 = r^2(\cos^2 t+\sin^2 t)=r^2.
Portanto a curva é a circunferência de raio r e centro em (0,1).

Passo 5

Concluir identificação: a curva é a circunferência centrada em (0,1) com raio r. Em notação complexa, é o conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z-i|=r\,\}.

Passo 6

Analisar quais pontos são atingidos em valores especiais de t (útil para esboçar):
\begin{aligned} t=-\pi &\Rightarrow (\cos t,\sin t)=(-1,0)\Rightarrow z=-r+i,\\\ t=-\tfrac{\pi}{2} &\Rightarrow (\cos t,\sin t)=(0,-1)\Rightarrow z=0+i(1-r),\\\ t=0 &\Rightarrow (\cos t,\sin t)=(1,0)\Rightarrow z=r+i,\\\ t=\tfrac{\pi}{2} &\Rightarrow (\cos t,\sin t)=(0,1)\Rightarrow z=0+i(1+r),\\\ t=\pi &\Rightarrow (\cos t,\sin t)=(-1,0)\Rightarrow z=-r+i\\ (\text{mesmo ponto que }t=-\pi). \end{aligned}
Esses quatro pontos (esquerda, baixo, direita, cima) permitem desenhar a circunferência.

Passo 7

Determinar a orientação (sentido de percorre): à medida que t aumenta, e^{it} gira no sentido anti-horário (sentido positivo). Assim, para t indo de -\pi até \pi a circunferência é percorrida uma vez no sentido anti-horário. Observação: t=-\pi e t=\pi correspondem ao mesmo ponto (-r,1), portanto a parametrização começa e termina nesse ponto.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (receita prática para a prova):
  • Marcar o centro C=(0,1).
  • A partir do centro, traçar um círculo de raio r.
  • Marcar os pontos notáveis calculados em t=-\pi,-\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi e ligá‑los suavemente para formar a circunferência.
  • Indicar uma seta ao longo da circunferência no sentido anti-horário para mostrar a orientação. Indicar que o ponto inicial/ final é (-r,1).

Passo 9

Exemplo rápido para fixar (pegar r=1): a curva é o círculo de centro (0,1) e raio 1. Pontos: t=0\Rightarrow(1,1), t=\pi/2\Rightarrow(0,2), t=\pi\Rightarrow(-1,1), t=-\pi/2\Rightarrow(0,0). Desenhar esses pontos e ligar no sentido anti-horário.

Resposta

Circunferência de centro (0,1) e raio r, ou seja |z-i|=r.
Parametrização equivalente: z=i+re^{it}, -\pi\le t\le\pi.
A curva é percorrida uma vez no sentido anti-horário, começando e terminando em (-r,1).

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