Calcule \int_{C} f(z) d z, onde f e C são especificados em cada item:
f(z)=|z| e C é o arco do círculo centrado na origem, de raio r, com y \geq 0 e orientado no sentido anti-horário; f(z)=|z| e C é o segmento de reta que liga 0 a -2+3 i.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de duas integrais de linha complexas da função f(z)=|z| ao longo de duas curvas distintas. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Primeiro item: calcular \displaystyle \int_{C} f(z)\,dz onde f(z)=|z| e C é o arco do círculo centrado na origem de raio r, com y\ge 0 (ou seja, semicircunferência superior) orientado no sentido anti-horário.
  • Segundo item: calcular \displaystyle \int_{C} f(z)\,dz onde f(z)=|z| e C é o segmento de reta que liga 0 a -2+3i.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Em ambos os itens, f(z)=|z| é a função que devolve o módulo do complexo z. Ou seja, para z=x+iy tem-se |z|=\sqrt{x^2+y^2}.
  • No primeiro caso, a curva é a semicircunferência de raio r centrada na origem (variando o argumento de 0 até \pi).
  • No segundo caso, a curva é o segmento de reta de 0 até -2+3i.

Passo 2

Explico a ideia geral para calcular integrais de linha do tipo \displaystyle \int_{C} f(z)\,dz. Método padrão (muito usado em provas):
  • Parametrizar a curva C por uma função z(t) com t variando num intervalo [a,b]. Assim z:[a,b]\to\mathbb{C} e z(a) é o ponto inicial, z(b) o final.
  • Usar a fórmula de mudança de variável para integrais de linha complexas:
\int_{C} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt.
Aqui z'(t)=\dfrac{dz}{dt}. Essa fórmula vem direto da definição da integral de linha: somando f(z) multiplicado pelas pequenas variações dz.
  • Observação didática: mesmo que f não seja holomorfa (no nosso caso f(z)=|z| não é holomorfa), a integral acima ainda faz sentido e pode ser calculada via parametrização; não precisamos de teorias de funções analíticas para isso.
Vou aplicar isso passo a passo para cada curva.

Passo 3

Primeiro item: parametrização do arco do círculo de raio r (semicírculo superior, sentido anti-horário).
  • Uma parametrização natural é
z(t)=r e^{i t},\qquad t\in[0,\pi].
  • Porque e^{it}=\cos t + i\sin t descreve o círculo unitário; multiplicando por r obtemos raio r. Para t de 0 a \pi cobrimos a semicircunferência superior ( y\ge0) no sentido anti-horário.
  • Derivada da parametrização:
z'(t)=\frac{d}{dt}\big(r e^{it}\big)=i r e^{it}.
  • Valor do módulo ao longo da curva: para qualquer ponto z(t)=r e^{it} tem-se |z(t)|=r, porque o módulo de r e^{it} é r.

Passo 4

Calculando a integral no primeiro caso usando a parametrização:
  • Substituindo na fórmula \int_{C} f(z)\,dz = \int_{0}^{\pi} f(z(t)) z'(t)\,dt temos
\int_{C} |z|\,dz = \int_{0}^{\pi} |z(t)|\,z'(t)\,dt.
  • Como |z(t)|=r e z'(t)=i r e^{it}, obtemos
\int_{0}^{\pi} r\cdot (i r e^{it})\,dt = i r^{2} \int_{0}^{\pi} e^{it}\,dt.
  • Calculo da integral \displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{it}\,dt. Lembrando que a primitiva de e^{it} em t é \dfrac{e^{it}}{i}, logo
\int_{0}^{\pi} e^{it}\,dt = \left.\frac{e^{it}}{i}\right|_{0}^{\pi} = \frac{e^{i\pi}-e^{i0}}{i}.
  • Sabendo que e^{i\pi}=-1 e e^{i0}=1, temos e^{i\pi}-e^{i0}=-2. Portanto
\int_{0}^{\pi} e^{it}\,dt = \frac{-2}{i} = 2 i \cdot(-1)\cdot\frac{1}{i}\\ \text{(mas simplificamos diretamente abaixo)}.
Para ser claro: \dfrac{-2}{i} = 2i\cdot(-1/i^2) — melhor simplificar diretamente no próximo passo.

Passo 5

Concluir o cálculo do primeiro integral com simplificação correta:
  • Temos
\int_{C} |z|\,dz = i r^{2} \cdot \frac{e^{i\pi}-e^{i0}}{i} = i r^{2}\cdot\frac{-2}{i}.
  • O fator i cancela com /i, ficando
\int_{C} |z|\,dz = r^{2}\cdot(-2) = -2 r^{2}.
  • Interpretação rápida: o valor é real e negativo, igual a -2r^{2}.

Passo 6

Segundo item: curva C é o segmento de reta ligando 0 a -2+3i. Parametrização natural e módulo:
  • Parametrização linear do segmento: tomar t\in[0,1] e
z(t)=t\cdot(-2+3i).
  • Então z(0)=0 e z(1)=-2+3i, como desejado.
  • Derivada:
z'(t)=\frac{d}{dt}\big(t(-2+3i)\big)=-2+3i,
que é constante.
  • Módulo ao longo do segmento: |z(t)|=|t(-2+3i)| = t\,| -2+3i |. Aqui usei a propriedade do módulo: |\lambda w|=|\lambda|\,|w| para \lambda\in\mathbb{R} e w\in\mathbb{C}. O número |-2+3i| é
\big|-2+3i\big|=\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Logo |z(t)|=\sqrt{13}\,t.

Passo 7

Calcule a integral no segundo caso substituindo na fórmula:
\int_{C} |z|\,dz = \int_{0}^{1} |z(t)|\,z'(t)\,dt = \int_{0}^{1} \big(\sqrt{13}\,t\big)\cdot(-2+3i)\,dt.
Como (-2+3i) e \sqrt{13} são constantes, podemos puxá-los para fora da integral:
\int_{0}^{1} \sqrt{13}\,t\,(-2+3i)\,dt = \sqrt{13}\,(-2+3i)\int_{0}^{1} t\,dt.
A integral \int_{0}^{1} t\,dt é \tfrac{1}{2}. Portanto
\int_{C} |z|\,dz = \sqrt{13}\,(-2+3i)\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{13}}{2}\,(-2+3i).

Passo 8

Escrevo a resposta final de forma compacta e fácil de conferir. Também acrescento uma pequena nota de encorajamento: integrar funções não analíticas por parametrização é rotina — com prática fica tranquilo.

Resposta

-2 r^{2}
\dfrac{\sqrt{13}}{2}\,(-2+3i)

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