Calcule
, com
a circunferência
orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
sobre a circunferência orientada positivamente, onde
sobre a circunferência
Estamos no plano e o domínio interior de
é simplesmente conexo; como
e
são
, podemos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre o disco unitário.
Passo 2
Pelo Teorema de Green,
onde
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
Portanto a integral de linha vira
Para calcular essa integral no disco unitário, é natural usar coordenadas polares:
com
,
. Então
e a integral fica
Passo 5
Calculando em
e
:
Multiplicando, obtemos