O resfriamento controlado é essencial para definir a microestrutura final de um metal. A temperatura de uma peça durante o resfriamento pode ser modelada ao longo do tempo. A temperatura
(em graus Celsius) de uma peça metálica após ser removida do forno, em função do tempo
(em minutos), pode ser aproximada pela função
, para um intervalo de tempo inicial.
a) Qual era a temperatura inicial da peça no momento em que ela foi removida do forno
?
b) Em que momento a peça atinge sua temperatura mínima nesse intervalo?
c) Qual é a temperatura mínima atingida?
a) Qual era a temperatura inicial da peça no momento em que ela foi removida do forno
b) Em que momento a peça atinge sua temperatura mínima nesse intervalo?
c) Qual é a temperatura mínima atingida?
Passo 1
O enunciado fornece a temperatura
da peça em função do tempo
(em minutos):
As perguntas são:
a) Qual era a temperatura inicial da peça no momento ?
b) Em que momento a peça atinge sua temperatura mínima nesse intervalo (tempo inicial)?
c) Qual é a temperatura mínima atingida?
a) Qual era a temperatura inicial da peça no momento
b) Em que momento a peça atinge sua temperatura mínima nesse intervalo (tempo inicial)?
c) Qual é a temperatura mínima atingida?
Passo 2
Calcular a temperatura inicial significa avaliar
em
. Substituo
na expressão:
Faço as contas passo a passo:
e
, logo
Interpretação: a temperatura da peça no instante em que foi removida do forno era
graus Celsius.
Passo 3
Para saber quando a função atinge mínimo, explico um conceito importante de forma simples: a função dada é um polinômio quadrático em
(uma parábola). O coeficiente de
é
, que é positivo, portanto a parábola “abre para cima” e tem um único ponto de mínimo (o vértice). Uma maneira básica de achar o tempo do vértice é usar a derivada, que nos dá a taxa de variação (a inclinação) de
em função de
. Calculo a derivada
(derivada de
em relação a
). Regras usadas: derivada de
é
, derivada de
é
, e de constante é
. Assim,
O ponto crítico (possível mínimo) ocorre quando
. Então resolvo
Esse
é o tempo do vértice da parábola no domínio real.
Passo 4
Agora um passo crucial de interpretação física: o tempo
representa minutos após remover a peça do forno, portanto o intervalo de interesse começa em
(não faz sentido físico
aqui). Observamos que o vértice está em
, que é anterior a
e, portanto, fora do nosso intervalo físico inicial. Para decidir onde ocorre o mínimo no intervalo
, podemos usar um argumento com a derivada: para todo
,
ou seja, a função é crescente em todo o intervalo
. Logo, dentro do intervalo físico inicial a temperatura é mínima exatamente no menor tempo permitido, que é
. Concluo que a peça atinge sua temperatura mínima, no intervalo físico inicial
, no instante
. A temperatura mínima é então
, que calculamos no Passo 2 e deu
graus Celsius. Também vale reforçar a intuição: a parábola teria um mínimo antes de retirarmos a peça (em
), mas como só observamos a partir de
a função já está subindo e continua subindo.
Resposta
a)
°C
b) minutos
c) Temperatura mínima °C
b)
c) Temperatura mínima