O resfriamento controlado é essencial para definir a microestrutura final de um metal. A temperatura de uma peça durante o resfriamento pode ser modelada ao longo do tempo. A temperatura \mathrm{T}(\mathrm{t}) (em graus Celsius) de uma peça metálica após ser removida do forno, em função do tempo t (em minutos), pode ser aproximada pela função T(t)=0,5 t^{2}+30 t+500, para um intervalo de tempo inicial.
a) Qual era a temperatura inicial da peça no momento em que ela foi removida do forno t=0 ?
b) Em que momento a peça atinge sua temperatura mínima nesse intervalo?
c) Qual é a temperatura mínima atingida?

Passo 1

O enunciado fornece a temperatura T(t) da peça em função do tempo t (em minutos):
T(t)=0,5\,t^{2}+30\,t+500.
As perguntas são:
a) Qual era a temperatura inicial da peça no momento t=0?
b) Em que momento a peça atinge sua temperatura mínima nesse intervalo (tempo inicial)?
c) Qual é a temperatura mínima atingida?

Passo 2

Calcular a temperatura inicial significa avaliar T(t) em t=0. Substituo t=0 na expressão:
T(0)=0,5\cdot 0^{2}+30\cdot 0+500.
Faço as contas passo a passo: 0,5\cdot 0^{2}=0 e 30\cdot 0=0, logo
T(0)=500.
Interpretação: a temperatura da peça no instante em que foi removida do forno era 500 graus Celsius.

Passo 3

Para saber quando a função atinge mínimo, explico um conceito importante de forma simples: a função dada é um polinômio quadrático em t (uma parábola). O coeficiente de t^{2} é 0,5, que é positivo, portanto a parábola “abre para cima” e tem um único ponto de mínimo (o vértice). Uma maneira básica de achar o tempo do vértice é usar a derivada, que nos dá a taxa de variação (a inclinação) de T em função de t. Calculo a derivada T'(t) (derivada de T em relação a t). Regras usadas: derivada de a t^{2} é 2a t, derivada de b t é b, e de constante é 0. Assim,
T'(t)=2\cdot 0,5\;t + 30 = t + 30.
O ponto crítico (possível mínimo) ocorre quando T'(t)=0. Então resolvo
t+30=0 \quad\Rightarrow\quad t=-30.
Esse t=-30 é o tempo do vértice da parábola no domínio real.

Passo 4

Agora um passo crucial de interpretação física: o tempo t representa minutos após remover a peça do forno, portanto o intervalo de interesse começa em t=0 (não faz sentido físico t<0 aqui). Observamos que o vértice está em t=-30, que é anterior a t=0 e, portanto, fora do nosso intervalo físico inicial. Para decidir onde ocorre o mínimo no intervalo t\ge 0, podemos usar um argumento com a derivada: para todo t\ge 0,
T'(t)=t+30\ge 0+30=30>0,
ou seja, a função é crescente em todo o intervalo t\ge 0. Logo, dentro do intervalo físico inicial a temperatura é mínima exatamente no menor tempo permitido, que é t=0. Concluo que a peça atinge sua temperatura mínima, no intervalo físico inicial t\ge 0, no instante t=0. A temperatura mínima é então T(0), que calculamos no Passo 2 e deu 500 graus Celsius. Também vale reforçar a intuição: a parábola teria um mínimo antes de retirarmos a peça (em t=-30), mas como só observamos a partir de t=0 a função já está subindo e continua subindo.

Resposta

a) T(0)=500 °C
b) t=0 minutos
c) Temperatura mínima =500 °C

Exercícios relacionados