A dilatação térmica de materiais é um fator crucial na metalurgia. Em alguns casos, a variação do comprimento em função da temperatura pode ser aproximada por uma função quadrática, especialmente em grandes faixas de temperatura. A variação do comprimento ( L em milímetros) de uma barra de um determinado metal, em função da temperatura ( c em graus Celsius), é descrita pela função \mathrm{L}\text{(c)}=0,001 c^{2}+0,1 c-5.
a) Qual é a variação de comprimento da barra a 90^{\circ} \mathrm{C} ?
b) Em que temperatura a variação do comprimento é nula, ou seja, a barra retorna ao seu comprimento inicial de referência?
c) Qual é a temperatura que minimiza a variação de comprimento (ponto de menor dilatação)?

Passo 1

Enunciado e o que se pede. A variação do comprimento L (em milímetros) de uma barra em função da temperatura c (em graus Celsius) é dada por
L\text{(c)}=0,001\,c^{2}+0,1\,c-5.
As perguntas são:
a) Qual é a variação de comprimento da barra a 90^{\circ}\mathrm{C}?
b) Em que temperatura a variação do comprimento é nula (ou seja, L\text{(c)}=0)?
c) Qual é a temperatura que minimiza a variação de comprimento (ponto de menor dilatação)?

Passo 2

Como calcular L em uma temperatura fixa (para a letra a). Aqui usamos substituição direta: para uma temperatura dada c=c_0 trocamos c por c_0 na fórmula e fazemos as contas. Vou mostrar cada multiplicação e soma passo a passo para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Calculando L(90). Substituímos c=90 em
L\text{(c)}=0,001\,c^{2}+0,1\,c-5.
Primeiro calculamos 90^{2}:
90^{2}=8100.
Depois cada termo:
0,001\cdot 8100 = 8,1,
0,1\cdot 90 = 9.
Somando tudo:
L(90)=8,1+9-5=12,1.
Portanto, a variação de comprimento a 90^{\circ}\mathrm{C} é 12,1 milímetros (expansão).

Passo 4

Para a letra b (resolver L\text{(c)}=0) vamos resolver a equação quadrática
0,001\,c^{2}+0,1\,c-5=0.
É bom identificar os coeficientes para aplicar a fórmula quadrática. Para evitar confusão com a letra c que é a variável, chamo os coeficientes de \alpha,\beta,\gamma:
\alpha=0,001,\qquad \beta=0,1,\qquad \gamma=-5.
A fórmula quadrática diz que as soluções de \alpha c^{2}+\beta c+\gamma=0 são
c=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-4\alpha\gamma}}{2\alpha}.
O discriminante é \Delta=\beta^{2}-4\alpha\gamma. Vou calcular \Delta passo a passo e explicar o que cada parte significa: \beta^{2} mede o quadrado do termo linear; 4\alpha\gamma vem da combinação dos outros coeficientes.

Passo 5

Calcular o discriminante \Delta:
\beta^{2}=0,1^{2}=0,01,
4\alpha\gamma = 4\cdot 0,001\cdot(-5) = -0,02.
Assim
\Delta = 0,01 - (-0,02)=0,01+0,02=0,03.
Como \Delta>0 temos duas raízes reais distintas. Agora a raiz quadrada:
\sqrt{0,03}=\sqrt{3}\cdot 0,1\approx 1,73205\cdot 0,1\approx 0,173205.
Aplicando a fórmula:
c=\frac{-0,1\pm 0,173205}{2\cdot 0,001}=\frac{-0,1\pm 0,173205}{0,002}.
Calculando cada raiz:
  1. Com o sinal +:
c_{1}=\frac{-0,1+0,173205}{0,002}=\frac{0,073205}{0,002}=36,6025\approx 36,6.
  1. Com o sinal -:
c_{2}=\frac{-0,1-0,173205}{0,002}=\frac{-0,273205}{0,002}=-136,6025\approx -136,6.
Interpretação: matematicamente existem duas temperaturas onde L\text{(c)}=0: aproximadamente 36,6^{\circ}\mathrm{C} e -136,6^{\circ}\mathrm{C}. Fisicamente, a solução positiva 36,6^{\circ}\mathrm{C} é a que normalmente interessa em condições usuais de temperatura; a negativa é uma solução válida matematicamente, porém fora da faixa de interesse prático na maior parte dos contextos.

Passo 6

Para a letra c (temperatura que minimiza L\text{(c)}). Uma função quadrática L\text{(c)}=\alpha c^{2}+\beta c+\gamma com \alpha>0 é uma parábola voltada para cima e tem um mínimo no vértice. A abscissa do vértice é dada por
c_{v}=-\frac{\beta}{2\alpha}.
Aqui temos \alpha=0,001 e \beta=0,1, então
c_{v}=-\frac{0,1}{2\cdot 0,001}=-\frac{0,1}{0,002}=-50.
Portanto a temperatura que minimiza a variação do comprimento é -50^{\circ}\mathrm{C}. Como \alpha=0,001>0, essa é realmente um mínimo (e não um máximo).

Passo 7

(Aula rápida extra — valor mínimo de L em si, só para construir intuição.) Se quiser saber a variação mínima, substituímos c=-50 em L\text{(c)}:
L(-50)=0,001\cdot(-50)^{2}+0,1\cdot(-50)-5.
Calculando:
(-50)^{2}=2500,\quad 0,001\cdot 2500=2,5,\quad 0,1\cdot(-50)=-5.
Assim
L(-50)=2,5-5-5=-7,5.
Ou seja, no ponto de mínimo a barra tem variação -7,5 mm (contração em relação ao comprimento de referência).

Resposta

a) 12,1\\ \mathrm{mm}
b) 36,6^{\circ}\mathrm{C} e -136,6^{\circ}\mathrm{C}
c) -50^{\circ}\mathrm{C}

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