A dilatação térmica de materiais é um fator crucial na metalurgia. Em alguns casos, a variação do comprimento em função da temperatura pode ser aproximada por uma função quadrática, especialmente em grandes faixas de temperatura. A variação do comprimento (
em milímetros) de uma barra de um determinado metal, em função da temperatura (
em graus Celsius), é descrita pela função
.
a) Qual é a variação de comprimento da barra a
?
b) Em que temperatura a variação do comprimento é nula, ou seja, a barra retorna ao seu comprimento inicial de referência?
c) Qual é a temperatura que minimiza a variação de comprimento (ponto de menor dilatação)?
a) Qual é a variação de comprimento da barra a
b) Em que temperatura a variação do comprimento é nula, ou seja, a barra retorna ao seu comprimento inicial de referência?
c) Qual é a temperatura que minimiza a variação de comprimento (ponto de menor dilatação)?
Passo 1
Enunciado e o que se pede. A variação do comprimento
(em milímetros) de uma barra em função da temperatura
(em graus Celsius) é dada por
As perguntas são:
a) Qual é a variação de comprimento da barra a ?
b) Em que temperatura a variação do comprimento é nula (ou seja, )?
c) Qual é a temperatura que minimiza a variação de comprimento (ponto de menor dilatação)?
a) Qual é a variação de comprimento da barra a
b) Em que temperatura a variação do comprimento é nula (ou seja,
c) Qual é a temperatura que minimiza a variação de comprimento (ponto de menor dilatação)?
Passo 2
Como calcular
em uma temperatura fixa (para a letra a). Aqui usamos substituição direta: para uma temperatura dada
trocamos
por
na fórmula e fazemos as contas. Vou mostrar cada multiplicação e soma passo a passo para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Calculando
. Substituímos
em
Primeiro calculamos
:
Depois cada termo:
Somando tudo:
Portanto, a variação de comprimento a
é
milímetros (expansão).
Passo 4
Para a letra b (resolver
) vamos resolver a equação quadrática
É bom identificar os coeficientes para aplicar a fórmula quadrática. Para evitar confusão com a letra
que é a variável, chamo os coeficientes de
:
A fórmula quadrática diz que as soluções de
são
O discriminante é
. Vou calcular
passo a passo e explicar o que cada parte significa:
mede o quadrado do termo linear;
vem da combinação dos outros coeficientes.
Passo 5
Calcular o discriminante
:
Assim
Como
temos duas raízes reais distintas. Agora a raiz quadrada:
Aplicando a fórmula:
Calculando cada raiz:
- Com o sinal
:
- Com o sinal
:
Interpretação: matematicamente existem duas temperaturas onde
: aproximadamente
e
. Fisicamente, a solução positiva
é a que normalmente interessa em condições usuais de temperatura; a negativa é uma solução válida matematicamente, porém fora da faixa de interesse prático na maior parte dos contextos.
Passo 6
Para a letra c (temperatura que minimiza
). Uma função quadrática
com
é uma parábola voltada para cima e tem um mínimo no vértice. A abscissa do vértice é dada por
Aqui temos
e
, então
Portanto a temperatura que minimiza a variação do comprimento é
. Como
, essa é realmente um mínimo (e não um máximo).
Passo 7
(Aula rápida extra — valor mínimo de
em si, só para construir intuição.) Se quiser saber a variação mínima, substituímos
em
:
Calculando:
Assim
Ou seja, no ponto de mínimo a barra tem variação
mm (contração em relação ao comprimento de referência).
Resposta
a)
b) e
c)
b)
c)