Calcule \int_{C}\left(y^{3}+2 y x^{2}\right) d x+\left(2 x+y^{2} x\right) d y, \operatorname{com} C a circunferência x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\bigl(y^{3}+2yx^{2}\bigr)\,dx \;+\;\bigl(2x+y^{2}x\bigr)\,dy
onde C é a circunferência x^{2}+y^{2}=1.
O conteúdo principal aqui é aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre o disco interior à circunferência.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=y^{3}+2yx^{2}, \quad Q(x,y)=2x+y^{2}x.
Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é o disco x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x+y^{2}x) = 2+y^{2},
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^{3}+2yx^{2}) = 3y^{2}+2x^{2}.
Logo o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = (2+y^{2})-(3y^{2}+2x^{2}) = 2-2(x^{2}+y^{2}).

Passo 4

Para calcular
\iint_{D}\bigl(2-2(x^{2}+y^{2})\bigr)\,dA
é conveniente usar coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi. Então
\iint_{D}(2-2r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}(2r-2r^{3})\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{1}(2r-2r^{3})\,dr = \bigl[r^{2}-\tfrac{1}{2}r^{4}\bigr]_{0}^{1} = 1-\tfrac12 = \tfrac12.
Em seguida a integral em \theta
\int_{0}^{2\pi}\tfrac12\,d\theta = \pi.

Resposta

\displaystyle \pi

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