Calcule
a circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a circunferência
.
O conteúdo principal aqui é aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre o disco interior à circunferência.
O conteúdo principal aqui é aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre o disco interior à circunferência.
Passo 2
Identificamos
Pelo Teorema de Green,
onde
é o disco
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando fica
Passo 4
Para calcular
é conveniente usar coordenadas polares:
,
,
, com
e
. Então
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Em seguida a integral em
dá