Calcule
\int_{\gamma}\left(2 x e^{y}-x^{2} y-\frac{y^{3}}{3}\right) d x+\left(x^{2} e^{y}+\operatorname{sen}(y)\right) d y, com \gamma a circunferência x^{2}+y^{2}=1 orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{\gamma}M\,dx+N\,dy
sobre a circunferência \gamma\colon x^{2}+y^{2}=1 orientada positivamente, onde
M(x,y)=2x e^{y}-x^{2}y-\tfrac{y^{3}}{3}, \quad N(x,y)=x^{2}e^{y}+\sin(y).
Estamos no plano e o domínio interior de \gamma é simplesmente conexo; como M e N são C^{1}, podemos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre o disco unitário.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
\int_{\gamma}M\,dx+N\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}e^{y}+\sin(y)\bigr) =2x e^{y},
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x e^{y}-x^{2}y-\tfrac{y^{3}}{3}\bigr) =2x e^{y}-x^{2}-y^{2}.
Logo,
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} =(2x e^{y})-\bigl(2x e^{y}-x^{2}-y^{2}\bigr) =x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Portanto a integral de linha vira
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA.
Para calcular essa integral no disco unitário, é natural usar coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi. Então
x^{2}+y^{2}=r^{2},
e a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^{2}\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculando em r e \theta:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac{1}{4}, \quad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando, obtemos
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\,d\theta =2\pi\cdot\tfrac{1}{4} =\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}.

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