(2.0 pontos) Determine z \in \mathbb{C} tal que
|z|-z=1+2 i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar z\in\mathbb{C} tal que
|z| - z = 1 + 2i.
O conteúdo aqui envolve expressar z como x+iy, usar |z|=\sqrt{x^2+y^2} e separar parte real e imaginária para resolver um sistema.

Passo 2

Seja z = x + i y com x,y\in\mathbb{R}. Então
|z| = \sqrt{x^2+y^2},
e a equação fica
\sqrt{x^2+y^2} \;-\;(x+iy)\;=\;1+2i.
Igualando parte real e parte imaginária, obtemos
\begin{cases} \sqrt{x^2+y^2} - x = 1,\\\\ -\,y = 2. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
y = -2.
Substituindo em \sqrt{x^2+y^2}-x=1, temos
\sqrt{x^2+(-2)^2} - x = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^2+4} = x + 1.
Como o lado esquerdo é não negativo, exige-se x+1\ge0, ou seja x\ge-1. Elevando ao quadrado:
x^2+4 = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{3}{2}.
Esse valor satisfaz x\ge-1.

Passo 4

Concluímos que a única solução é
z = \tfrac{3}{2} - 2i.

Resposta

z = \tfrac{3}{2} - 2i

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