Considere a curva C parametrizada por \sigma(t)=\left(e^{t-1}, \operatorname{sen} \frac{\pi}{t}\right), 1 \leq t \leq 2. Calcule a integral de linha de F(x, y)=\left(2 x \cos y,-x^{2} \operatorname{sen} y\right) ao longo de C.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}F\cdot d\sigma
em que F(x,y)=(2x\cos y,\,-x^2\sin y) e a curva C é dada por
\sigma(t)=\bigl(e^{t-1},\,\sin(\tfrac{\pi}{t})\bigr), \quad t\in[1,2].
Como F lembra um campo em que P=2x\cos y e Q=-x^2\sin y, vamos ver se ele é conservativo e usar potencial para simplificar a integral.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo computando as derivadas parciais
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\cos y\bigr) =-2x\sin y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^2\sin y\bigr) =-2x\sin y.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo o domínio, F é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\cos y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=-x^2\sin y.
Integrando \partial f/\partial x em relação a x
f(x,y)=\int 2x\cos y\,dx =x^2\cos y + h(y).
Derivando isso em y e igualando a Q resulta em h'(y)=0, logo h é constante e podemos tomar
f(x,y)=x^2\cos y.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha em campos conservativos,
\int_{C}F\cdot d\sigma =f\bigl(\sigma(2)\bigr)-f\bigl(\sigma(1)\bigr).
Agora avaliamos nos extremos:
\sigma(2)=\bigl(e^{2-1},\sin(\tfrac{\pi}{2})\bigr)=(e,1), \quad \sigma(1)=\bigl(e^{1-1},\sin(\pi)\bigr)=(1,0).
Então
f(e,1)=e^2\cos(1), \qquad f(1,0)=1^2\cos(0)=1.
Logo
\int_C F\cdot d\sigma =e^2\cos(1)-1.

Resposta

\displaystyle e^2\cos(1)-1

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