Exemplo 1.2
Determine a área da metade superior de uma esfera de raio
.
Esses dois exemplos podem ser apresentados como exercícios resolvidos na Aplicação 1.
Esses dois exemplos podem ser apresentados como exercícios resolvidos na Aplicação 1.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a área da metade superior de uma esfera de raio
. Informações dadas e objetivo claro:
- Dado: o raio da esfera é
. - Pedido: a área da metade superior da esfera (ou seja, a área da superfície do hemisfério superior).
- Observação importante: vou interpretar “metade superior” como a superfície curva do hemisfério (não incluindo uma possível área do disco plano da seção equatorial).
Passo 2
Escolha do método (e por que):
- Vou usar o método da superfície de revolução aplicado à semicircunferência
. - Por que esse método? É um método básico de Cálculo I que costuma ser cobrado em provas: ele usa a fórmula da área gerada por revolução de uma curva em torno de um eixo. É mais elementar que coordenadas esféricas e evita introduzir novas variáveis; além disso dá uma simplificação elegante no caso da circunferência, o que facilita o cálculo à mão.
- Se preferir, poderíamos também usar coordenadas esféricas; dá o mesmo resultado. Aqui escolhi a revolução porque exige menos formalismo e é muito didático.
Passo 3
Apresentação e explicação da fórmula de superfície de revolução:
- Seja uma curva
, . A área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo é dada por
- Explicação dos termos:
-
é a distância radial (o “raio” do anel gerado) até o eixo de revolução; -
é o elemento de comprimento de arco da curva (é a hipotenusa do triângulo diferencial formado por e ); - multiplicando
(circunferência do anel) por obtemos a área aproximada do anel; integrando obtemos a área total.
-
- Esse raciocínio vem da aproximação da curva por segmentos pequenos que, ao girar, formam frustums (anel lateral aproximado), e somando (integrando) obtemos a área exata.
Passo 4
Aplicação da fórmula à semicircunferência que gera a esfera:
- A semicircunferência superior é
, definida para . Girando essa semicircunferência em torno do eixo obtemos a esfera inteira. Assim a área da esfera é
- Calcule a derivada:
- Agora compute
:
- Portanto
- Substituindo na integranda:
- Resultado simples: a integranda fica constante
. Assim
- Comentário pedagógico: esse cálculo mostra por que a área da esfera tem a forma
de maneira muito direta — a complicação no integrando cancela e sobra uma constante.
Passo 5
Obter a área da metade superior (hemisfério):
- A esfera inteira tem área
. Pelo simetria, a metade superior (hemisfério) tem metade dessa área:
- Alternativamente, poderíamos integrar apenas de
a e considerar a revolução adequada, mas dividir por é mais direto e seguro pela simetria.
Passo 6
Substituir
e concluir:
- Com
temos
- Uma interpretação numérica rápida (só para intuição):
, mas a forma exata é a resposta pedida.