Exemplo 1.2

Determine a área da metade superior de uma esfera de raio R=3.
Esses dois exemplos podem ser apresentados como exercícios resolvidos na Aplicação 1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da metade superior de uma esfera de raio R=3. Informações dadas e objetivo claro:
  • Dado: o raio da esfera é R=3.
  • Pedido: a área da metade superior da esfera (ou seja, a área da superfície do hemisfério superior).
  • Observação importante: vou interpretar “metade superior” como a superfície curva do hemisfério (não incluindo uma possível área do disco plano da seção equatorial).

Passo 2

Escolha do método (e por que):
  • Vou usar o método da superfície de revolução aplicado à semicircunferência y=\sqrt{R^{2}-x^{2}}.
  • Por que esse método? É um método básico de Cálculo I que costuma ser cobrado em provas: ele usa a fórmula da área gerada por revolução de uma curva em torno de um eixo. É mais elementar que coordenadas esféricas e evita introduzir novas variáveis; além disso dá uma simplificação elegante no caso da circunferência, o que facilita o cálculo à mão.
  • Se preferir, poderíamos também usar coordenadas esféricas; dá o mesmo resultado. Aqui escolhi a revolução porque exige menos formalismo e é muito didático.

Passo 3

Apresentação e explicação da fórmula de superfície de revolução:
  • Seja uma curva y=f(x), a\le x\le b. A área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x é dada por
A = 2\pi \int_{a}^{b} f(x)\,\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
  • Explicação dos termos:
    • f(x) é a distância radial (o “raio” do anel gerado) até o eixo de revolução;
    • ds=\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\,dx é o elemento de comprimento de arco da curva (é a hipotenusa do triângulo diferencial formado por dx e dy=f'(x)\,dx);
    • multiplicando 2\pi f(x) (circunferência do anel) por ds obtemos a área aproximada do anel; integrando obtemos a área total.
  • Esse raciocínio vem da aproximação da curva por segmentos pequenos que, ao girar, formam frustums (anel lateral aproximado), e somando (integrando) obtemos a área exata.

Passo 4

Aplicação da fórmula à semicircunferência que gera a esfera:
  • A semicircunferência superior é y=\sqrt{R^{2}-x^{2}}, definida para x\in[-R,R]. Girando essa semicircunferência em torno do eixo x obtemos a esfera inteira. Assim a área da esfera é
A_{\text{esfera}} = 2\pi \int_{-R}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}}\;\sqrt{1+\left(\frac{d}{dx}\sqrt{R^{2}-x^{2}}\right)^{2}}\;dx.
  • Calcule a derivada:
\frac{d}{dx}\sqrt{R^{2}-x^{2}} = \frac{d}{dx}\bigl(R^{2}-x^{2}\bigr)^{1/2} = \frac{1}{2}(R^{2}-x^{2})^{-1/2}(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}.
  • Agora compute 1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}:
1+\left(-\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\right)^{2} = 1+\frac{x^{2}}{R^{2}-x^{2}} = \frac{R^{2}-x^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}} = \frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}.
  • Portanto
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}} = \sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}.
  • Substituindo na integranda:
\sqrt{R^{2}-x^{2}}\;\cdot\;\frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} = R.
  • Resultado simples: a integranda fica constante R. Assim
A_{\text{esfera}} = 2\pi \int_{-R}^{R} R\,dx = 2\pi R \cdot (2R) = 4\pi R^{2}.
  • Comentário pedagógico: esse cálculo mostra por que a área da esfera tem a forma 4\pi R^{2} de maneira muito direta — a complicação no integrando cancela e sobra uma constante.

Passo 5

Obter a área da metade superior (hemisfério):
  • A esfera inteira tem área 4\pi R^{2}. Pelo simetria, a metade superior (hemisfério) tem metade dessa área:
A_{\text{hemisfério}} = \frac{1}{2}\,4\pi R^{2} = 2\pi R^{2}.é
  • Alternativamente, poderíamos integrar apenas de x=0 a x=R e considerar a revolução adequada, mas dividir por 2 é mais direto e seguro pela simetria.

Passo 6

Substituir R=3 e concluir:
  • Com R=3 temos
A_{\text{metade superior}} = 2\pi R^{2} = 2\pi\cdot 3^{2} = 2\pi\cdot 9 = 18\pi.
  • Uma interpretação numérica rápida (só para intuição): 18\pi\approx 56{,}55, mas a forma exata 18\pi é a resposta pedida.

Resposta

18\pi

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